7. Латинские и греко – латинские квадраты

При изучении влияния одного и двух факторов план эксперимента был довольно прост. При увеличении числа рассматриваемых факторов, влияющих на объект, объем исследования резко возрастает и анализ экспериментальных данных усложняется. Применение так называемых «латинских квадратов» позволяет значительно уменьшить объем исследований и упростить обработку данных. План исследования вида «классический латинский квадрат» позволяет исследовать влияние трех факторов, варьируемых на N уровнях, но для этой цели используется только N² комбинация уровней факторов вместо N³ возможных комбинаций, причем существование различий можно проверить для каждого из трех факторов. Размерность латинского квадрата определяется числом уровней варьирования факторов; если N = 3, то говорят о латинском квадрате 3х3.

Таблица 3.7.

Фактор 1	Фактор 2
	1	2	3	4
1	A	B	C	D
2	D	A	B	C
3	C	D	A	B
4	B	C	D	A

Первоначально латинские квадраты нашли применение при агротехнических экспериментах – два из трех факторов указывали положение ячейки на поле в двумерной системе координат, а третий (основной) представлял собой, например, способ обработки, урожайность. Такой подход позволял при исследованиях избавляться от влияния «мешающих факторов» – колебания плодородия при переходе от одной ячейки к другой. В последствии планы такого рода начали находить широкое распространение и в научно – технических исследованиях.

План типа латинского квадрата приведен в табл. 3.7. Уровни варьирования двух факторов представлены в виде строк (фактор 1) и столбцов (фактор 2), а третий фактор, уровни которого обозначены буквами, заносятся в ячейки квадрата 4х4.

В первую строку в упорядоченной последовательности заносятся буквенные обозначения уровней третьего фактора. Порядок расположения уровней третьего фактора в последующих строках определяется путем сдвига элемента в предыдущей строке вправо и перевода последнего элемента в первый столбец (в сочетание с первым уровнем фактора 2). Построенный таким образом план имеет на диагоналях одни и те же уровни третбего фактора (на главной диагонали располагается уровень А), а уровни – буквы распредеоены таким образом, что в каждой строке и каждом столбце каждая букав встречается только один раз. Если имеется N строк и N столбцов то построенный латинский квадрат содержит N² ячеек и в каждой ячейке комбинация номера строки, столбца и буквы дает сочетание уровней первого, второго и третьего факторов. Таким образом, используется N² различных комбинаций уровней факторов, что значительно уменьшает объем исследования. При рассмотрении матрицы планов типа латинский квадрат можно заметить, что какой – либо общий член , описывающий взаимодействие, нельзя отделить от случайных величин и поэтому нельзя получить остаточную сумму квадратов Q_², независящую от значения какого – либо фактора. Следовательно, уменьшение объема исследования приводит к невозможности раздельной оценке влияния взаимодействия. Если взаимодействия существуют, то они увеличивают остаточную дисперсию _² , обусловленную влиянием случайных величин. Однако три суммы квадратов для разностей уровней факторов и остаточная (пусть даже увеличенная) сумма квадратов позволяет осуществить проверку эффектов изменения уровня каждого из факторов в отдельности.

Таблица 3.8.

Фактор 1	Фактор 2
	1	2	3	4
1	A	B	C	A
2	A	A	B	C
3	C	A	A	B
4	B	C	A	A

Возможно и другое построение латинского квадрата, когда третий фактор в упорядоченном порядке располагается в первом столбце, а остальные столбцы формируются путем перестановки последнего уровня третьего фактора в предыдущем столбце на первое место (в первую ячейку) и сдвигом вниз без изменения остальных уровней факторов. Основной особенностью планов типа латинский квадрат является то, что все три фактора должны иметь одинаковое число уровней N, что относится к недостаткам. От этого недостатка можно «избавиться», если использовать так называемые фиктивные уровни, т.е. уровень фактора, представляющий наибольший интерес, повторяется несколько раз. В табл. 3.8. показан план, когда два фактора, образующих строки и столбцы, имеют по четыре уровня, а третий фактор имеет три уровня (A,B,C) данный план получен из плана, приведенного в табл. 3.7. путем замены уровня D уровнем A.

После построения плана по изложенному правилу его столбцы (или строки) представляют случайным образом и проводят эксперимент. Суммы квадратов, объясняющих эффект изменения каждого из факторов определяются на основании разложения общей суммы квадратов

на составляющие

Q_² = Q₀² – Q_x1² – Q_x2² – Q_х3²,

где Q_x1² , Q_x2² , Q_х3² – cуммы квадратов отклонений для факторов, Q_² – остаточная сумма квадратов; i – номер строки (уровень фактора 1): k – номер столбца (уровень фактора 2); l – номер буквы в упорядоченном виде (уровень третьего фактора);

(для третьего фактора у_ikl = 0 для ячеек, где третий фактор не находится

на l – ом уровне)

Оценки дисперсии, вызванных влиянием факторов, определяется так:

S_x1² = Q_x1²/f_x1, S_x2² = Q_x2²/f_x2, S_x3² = Q_x3²/f_x3

где числа степеней свободы f_x1 = f_x2 = f_x3 = N-1.

Поскольку остаточная дисперсия S_² = Q_²/(N-1)(N-2), то расчетные значения коэффициентов Фишера (сопоставление которых с табличным значением F_T позволяет сделать вывод, о влиянии фактора) определяется так:

F_T1 = Q_x1²(N-2)/ Q_²; F_T2 = Q_x2²(N-2)/ Q_²; F_T3 = Q_x3²(N-2)/ Q_²;

при числе степеней свободы (N-1) и (N-1)(N-2).

Как уже отмечалось, план типа латинский квадрат позволяет одновременно изучать три фактора. Для большинства случаев число изучаемых факторов можно увеличить до четырех путем наложения на основной латинский другого латинского квадрата такой же размерности N x N и ортогонального первоначального, т.е. каждая буква одного латинского квадрата один раз появляется на одной и той же позиции, как и каждая буква другого латинского квадрата, т.е. каждая буква первого квадрата встретится только один раз с каждой буквой другого квадрата. Чтобы различать уровни факторов, входящих в первоначальный и ортогональный квадрат, во втором латинском квадрате употребляются греческие буквы (отсюда название греко – латинский квадрат).

Таблица 3.9.

Фактор 1	Фактор 2
	1	2	3	4
1	A	B	C	D
2	B	A	D	C
3	C	D	A	B
4	D	C	B	A

Из всего множества латинских квадратов 4х4 существуют только три ортогональных квадрата (цифрами указаны упорядоченные уровни факторов, расположенных в ячейках квадрата):

1				2					3
1	2	3	4	1	2	3	4	1		2	3	4
2	1	4	3	3	4	1	2	4		3	2	1
3	4	1	2	4	3	2	1	2		1	4	3
4	3	2	1	2	1	4	3	3		4	1	2

Так, наложив квадрат 1 на квадрат 3, получим греко – латинский квадрат 4х4, представленный в табл. 3.9.

Методы построения греко – латинских квадратов разнообразны. Некоторые из них отличаются простотой, но не являются общими и не позволяют получить полного множества греко – латинских квадратов. Так, если число уровней N является простым нечетным числом, то можно воспользоваться следующей процедурой для построения пары ортогональных квадратов: первый квадрат получается с помощью одношаговой циклической перестановки справа налево, второй – слева направо. Проделаем такую процедуру для

N = 5. Записываем в первую строку для одного квадрата пять латинских букв, а для другого – греческих, записанных в алфавитном порядке. Для первого квадрата вторую строку табл. 3.10. образуем с помощью одношаговой циклической перестановки, передвигая последнюю букву (Е) на первое место (в первый столбец), а все остальные сдвигая на одну позицию направо. Аналогичную процедуру проделывают для остальных строк соответственно. Для второго квадрата записываем в первой строке в алфавитном порядке пять греческих букв. Во второй строке первую букву ставим на последнее место, все остальные сдвигаем на одну позицию налево. Аналогично поступаем с остальными строками табл. 3.10.

Таблица 3.10.

Фак-	Фактор 2
тор 1	1		2		3		4		5
1	A		B		C		D		E	
2	E		A		B		C		D	
3	D		E		A		B		C	
4	C		D		E		A		B	
5	B		C		D		E		A	

Методы построения полного множества ортогональных латинских квадратов для любого N приведены в [18]. Однако построение греко – латинского квадрата не всегда оказывается возможным, как, например, для случая N = 2 или N = 6.

Дисперсионный анализ для плана типа греко – латинский квадрат совершенно аналогичен ранее рассмотренному анализу для плана типа латинский квадрат. Отличие состоит лишь в том, что необходимо еще вычислять сумму квадратов для четвертого фактора Q_x4². Кроме того, число степеней свободы остаточной суммы квадратов уменьшается на (N – 1). Поэтому при N = 3 число степеней свободы для остаточной суммы квадратов равно нулю и греко – латинские квадраты 3х3 для автономных исследований строить не имеет смысла.