3. Обработка результатов эксперимента

Основной целью регрессионного анализа является получение по результатам активного эксперимента модели, адекватно описывающей поведение исследуемого объекта. Проведение эксперимента должно строго соответствовать выбранному случайному порядку. Установка уровней факторов должна происходить в соответствии с теоретическими предпосылками регрессионного анализа и быть возможно более точной. Регистрация результатов измерения выхода Y должна соответствовать реально обеспечиваемой в опыте точности измерения. Если нет уверенности, что условия проведения опытов остаются постоянными, то опыты в каждой точке факторного пространства дублируются (проводится серия опытов). Предположим, что в каждой точке факторного пространства, которой соответствует одна из строк матрицы планирования, проводится серия из т опытов. Для любой i-й точки вычисляется среднее значение выходной величины

и построчную дисперсию выходной величины (точнее ее оценку);

Найденные таким образом построчные дисперсии используются для проверки воспроизводимости опытов, заключающейся в проверке однородности построчных дисперсий — одной из основных предпосылок множественного регрессионного анализа.

Среди всей совокупности рассчитанных построчных дисперсий выбирается максимальная и берется отношение данной дисперсии к сумме всех построчных дисперсий , т. е. определяют расчетное значение коэффициента Кохрэна

который показывает, какую долю в общей сумме построчных дисперсий занимает максимальная из них — эта доля взята как мера различия между дисперсиями. В случае идеальной однородности построчных дисперсий коэффициент стремился бы к значению 1/N. Расчетное значение коэффициента Кохрэна сравнивается с табличным (критическим) значением G-критерия, которое выбирается из таблиц для принятого уровня значимости а и для чисел степени свободы соответственно числителя f₁ и знаменателя f₂:

Для этого значение f₁ находится в горизонтальном заголовке таблицы (выбирается столбец), а f₂ выбирается слева в вертикальном заголовке таблицы (выбирается строка) и на пересечении получаем табличное значение G_Т коэффициента Кохрэна. Если выполняется условие

, (2.5)

то с выбранным уровнем статистической значимости (с достоверностью 1— ) все построчные дисперсии признаются однородными. В противном случае следует отвергнуть гипотезу об однородности построчных дисперсий, что является нарушением одной из главных предпосылок регрессионного анализа — дальнейшая статистическая обработка результатов эксперимента не имеет смысла. При создании такой ситуации необходимо увеличить число параллельных опытов или провести эксперимент заново, обратив особое внимание на правильность и точность установки уровней входных факторов, а также применить более точные приборы или методы измерения.

Убедившись в однородности, переходят к определению оценок коэффициентов по формуле

где k — номер вектор-столбца.

Найденные таким образом коэффициенты уравнения регрессии необходимо оценить на статистическую значимость. Оценка производится по t-критерию Стьюдента. Для каждого коэффициента вычисляется коэффициент

т. е. проверяется отклонение от нуля найденной оценки коэффициента . Здесь — оценка среднего квадратического отклонения погрешности определения коэффициента.

Оценка генеральной дисперсии воспроизводимости , характеризующей точность (усредненную) одного измерения, является средняя из всех построчных дисперсий

,

Следовательно, оценку дисперсии коэффициента можно записать в виде

(2.6)

В некоторых случаях, когда есть уверенность, что дисперсии однородны, оценкой дисперсии воспроизводимости может служить одна из построчных дисперсий или же оценка дисперсии для любой точки факторного пространства (чаще всего это бывает центр плана).

Сущность t-критерия Стьюдента проверки статистической значимости найденных оценок коэффициентов заключается в следующем. Изменение выходной величины зависит от влияния k-го члена аппроксимирующего полинома и неуправляемых и неконтролируемых факторов.

Влияние k-го фактора, отклонение оценки k-го коэффициента от нуля учитывается коэффициентом

влияние же неуправляемых или неконтролируемых факторов, а также погрешности измерения выходной величины может быть учтено при помощи дисперсии воспроизводимости , имеющей N (m — 1) степеней свободы (N─степеней свободы «потеряно» на вычисление построчных средних). При выбранном уровне статистической значимости я по таблицам распределения Стьюдента при числе степеней свободы f=N(т—1) находят табличное значение коэффициента t_табл.. Найденное табличное значение сравнивается с расчетным значением коэффициента. Если выполняется неравенство

, (2.7)

то принимается нуль-гипотеза, т.е. с принятым уровнем статистической значимости (статистической достоверностью 1— ) и числе степеней свободы f считается, что найденный коэффициент является статистически незначительным и его следует исключить из уравнения регрессии.

Таким образом, при выполнении условия (2.7) нельзя определить (в 100─ случаях), чем вызвано изменение выходной величины: влиянием k-го члена уравнения регрессии или влиянием неучтенных факторов и наличием случайной погрешности измерения выходной величины.

Полученное уравнение регрессии необходимо проверить на адекватность исследуемому объекту, т.е. установить насколько хорошо оно аппроксимирует полученные экспериментальные данные. Для этой цели необходимо оценить, насколько отличаются средние значения выходной величины, полученной в точках факторного пространства в результате .проведения опытов, и значения , полученного из уравнения регрессии в тех же точках факторного пространства.

Для этого вычисляют остаточную дисперсию, которую чаще всего называют дисперсией адекватности:

,

где т — число параллельных опытов в i-й точке факторного пространства; l─число определенных в результате проведения N опытов значимых коэффициентов.

Отличие от нуля объясняется, в общем случае, двумя причинами: действительно неадекватностью уравнения регрессии физическому объекту (неправильно выбран аппроксимирующий полином) и наличием случайной погрешности восприятия, характеризуемой .

Если модель адекватна, то оценка дисперсии адекватности, как и оценка дисперсии воспроизводимости, зависят только от погрешности восприятия выходной величины, обусловленной суммарной помехой, и в пределе будут одинаковыми. Поэтому адекватность полученной модели проверяют путем сравнения оценок двух дисперсий и и F-критерию Фишера

Найденное расчетным путем сравнивают с табличным значением , которое определяется при уровне статистической значимости и числе степеней свободы и , выбранными в горизонтальном и вертикальном заголовках таблицы, соответственно.

Если

, (2.9)

то полученная математическая модель с принятым уровнем статистической значимости а адекватна экспериментальным данным и ее можно использовать для дальнейших доследовании.