1.2. Действия с матрицами.

Два наиболее простых арифметических действия, выполняемых с матрицами – это сложение и вычитание. Для их реализации достаточно, чтобы все матрицы, участвующие в этих операциях, имели одинаковую размерность. Если это условие выполнено, сложение или вычитание выполняется поэлементно, при этом сохраняются все свойства ассоциативности и коммутативности, присущие данным операциям. Также поэлементно осуществляется и умножение матрицы на число.

Пример 10. Вычислить , если

,

Поскольку сложение выполняется поэлементно, то

Пример 11. Вычислить , если

, ,

Поскольку

, то

Гораздо более сложным арифметическим действием является умножение двух матриц. Во-первых, основным и обязательным условием является равенство числа столбцов первой матрицы числу строк второй матрицы. Во-вторых, умножение матриц в общем случае не ассоциативно и не коммутативно, т.е.

.

И, в-третьих, умножение осуществляется не поэлементно, а в соответствии со следующим правилом: если , то каждый ее элемент

.

Можно сказать, что элемент образуется путем скалярного произведения k-й строки первой матрицы на m-й столбец второй. Понятие скалярного произведения, известное из школьного курса, приведено в § 4.1.

Таким образом, результат умножения, например, двух матриц размера 3х3 можно записать так:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 12. Вычислить , если

,

Применяя основную формулу, получаем:

Пример 13. Вычислить , если

,

Заметим, что основное требование - равенство числа столбцов первой матрицы числу строк второй матрицы – выполняется. Тогда

Пример 14. На основе матриц примера 13 убедиться в том, что .

Произведение уже найдено нами ранее. Вычислим произведение . Поскольку основное требование здесь также выполняется, то

Очевидно, что

Пример 15. Вычислить , если

,

Применяя основную формулу, получаем:

Пример 16. Вычислить , если

,

Поскольку основное требование выполнено, то

В данном примере стоит отметить, что умножение невозможно - основное требование не выполняется. Действительно,

,

т.е. на первом же шаге решение заходит в тупик.

Последнее арифметическое действие – деление, как таковое к матрицам не применяется. Здесь необходимо вспомнить следующий несложный факт:

на основании которого в теории матриц вместо выражения принято писать , где - матрица, обратная к матрице , т.е такая, что

где - единичная матрица (определение дано на стр. 3).

Для того, чтобы найти матрицу , обратную к данной матрице , необходимо выполнить следующий алгоритм:

1. Вычислить определитель матрицы ;

2. Транспонировать матрицу - записать матрицу , первым столбцом которой будет являться первая строка матрицы , вторым столбцом – вторая строка матрицы и т.д.

3. Записать матрицу, союзную к - т.е. матрицу , составленную из алгебраических дополнений (определение см. на стр. 4) ко всем элементам матрицы .

4. .

Очевидно, что основными условиями существования обратной матрицы будут следующие:

• Исходная матрица должна быть квадратной;

• Определитель исходной матрицы должен быть отличен от нуля.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 17. Вычислить матрицу, обратную к

Выполним по пунктам приведенный алгоритм.

1) Вычислим определитель матрицы:

2) Транспонируем исходную матрицу:

3) Вычислим союзную к ней:

4) Вычислим матрицу, обратную к :

Алгоритм, являющийся достойной альтернативой данному и основанный на методе Гаусса приведен в § 2.1 (пример 5). В § 2.3 «Если есть компьютер» дается описание нахождения обратной матрицы в среде MathCad.

Убедимся в том, что последний пример был решен верно и полученная матрица действительно является обратной к исходной. Для этого необходимо перемножить матрицы . Действительно,

.

Аналогично выполняется и проверка того, что . Таким образом, обратная матрица найдена верно.

Пример 18.³ Вычислить матрицу, обратную к

Выполним по пунктам приведенный алгоритм.

1) Вычислим определитель матрицы:

2) Транспонируем исходную матрицу:

3) Вычислим союзную к ней:

4) Вычислим матрицу, обратную к :