- •6.1. Общая теория и примеры. 67 § 1. Матрицы. Основные понятия и действия с ними.
- •1.1. Основные понятия. Вычисление определителя.
- •1.2. Действия с матрицами.
- •1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •1.4. Примеры для самопроверки. § 2. Метод Гаусса. Лемма Ахо.
- •2.1. Общая теория и примеры.
- •2.2. Лемма Ахо.
- •2.3. Если есть компьютер.
- •§ 3. Экономические задачи, содержащие матрицы и системы.
- •§ 4. Задачи на вектора, прямые и плоскости.
- •4.1. Общая теория и алгоритмы.
- •§ 5. Экономические задачи, содержащие вектора и прямые
- •§ 6. Пределы и производные
- •6.1. Общая теория и примеры.
§ 4. Задачи на вектора, прямые и плоскости.
4.1. Общая теория и алгоритмы.
В геометрии вектором называют направленный отрезок. В фиксированной системе координат9 каждый вектор однозначно определен своими координатами: .
Если - какой-нибудь другой вектор, то
,
,
где - число.
Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.
Обобщим понятие вектора следующим образом. Назовем последовательность чисел -мерным вектором и запишем его в виде . Число называется первой координатой, - второй и т.д., а число - размерностью вектора .
Основные понятия и свойства:
Два -мерных вектора считаются равными тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.
Для любого вектора
где - нулевой вектор.
Вектор называется противоположным вектору и обозначается через . Очевидно, что . Вместо записи допустима также запись .
Длиной вектора называется величина, равная
С
Геометрически, скалярное произведение определяется как
,
где - угол между векторами и .
Тогда проекцией вектора на вектор будет называться число
Векторным произведением -мерных векторов и называется вектор, равный . В трехмерном векторном пространстве он будет иметь координаты
Cмешанным произведением 3-х 3-мерных векторов , и называется число
Г
Соответственно, объем тетраэдра, построенного по векторам , и равен одной шестой от объема параллелепипеда:
Пример 1. Для заданных векторов и вычислить и .
Вычислим вектора и :
Тогда
Для вычисления проекции вычислим вектор и длину :
,
Скалярное произведение: .
Тогда
Пример 2. Найти все углы треугольника , если координаты его точек , , .
Вычислим все необходимые вектора:
Тогда ,
,
.
Пояснение: знак “-“ при вычислении возникает потому, что один из используемых векторов, в частности, , входит в точку , а другой, , исходит из нее.
Пример 3. Найти вектор , если , , .
Вычислим все необходимые вектора:
Тогда
Пример 4. Вычислить объем тетраэдра ABCD, если , , , .
Вычислим все необходимые вектора:
Тогда
Тогда
Теорема10: Уравнение
является уравнением прямой проходящей через точку перпендикулярно ненулевому вектору , который называется нормальным вектором данной прямой.
Из данной теоремы вытекает следующее утверждение:
Если заданы две точки и , то уравнение прямой, проходящей через две данные точки имеет вид:
Для того, чтобы записать уравнение прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через точку необходимо
записать искомую прямую в виде , где числа и взяты из уравнения исходной прямой, а - неизвестный коэффициент.
найти из условия, что искомая прямая проходит через точку , т.е. или .
записать окончательный ответ, подставив в уравнение пункта 1 константу , найденную в пункте 2.
Для того, чтобы записать уравнение прямой, параллельной к данной и проходящей через точку необходимо
записать искомую прямую в виде , где числа и взяты из уравнения исходной прямой, а - неизвестный коэффициент.
найти из условия, что искомая прямая проходит через точку , т.е. или .
записать окончательный ответ, подставив в уравнение пункта 1 константу , найденную в пункте 2.
Пример 5. Записать уравнения всех высот треугольника , если координаты его точек , , .
Уравнение прямой :
, т.е. , тогда по правилу креста и окончательно, раскрывая скобки и перенося все в одну часть, получаем:
Высота перпендикулярна прямой и проходит через точку . Следовательно, в соответствии с приведенным алгоритмом, она имеет уравнение
,
где .
Т.е. окончательно, уравнение высота имеет вид: .