19. Сравнение дисперсий двух независимых выборок

Сравнение средних значений не всегда позволяет составить полную картину изучаемого явления, т.к. средние значения ГС могут быть статистически одинаковыми, а дисперсии статистически различными. Это будет означать, что данные одной ГС имеют больший разброс, чем данные другой ГС. Поэтому после сравнения средних значений нужно решать задачу сравнения дисперсий, для чего воспользуемся общей схемой проверки статистической гипотезы.

1 этап. Выдвигаются две статистические гипотезы. Основная нулевая о том, что дисперсии двух рассматриваемых ГС статистически одинаковы и альтернативная о том, что эти дисперсии статистически различны.

2 2

Н0: х = у

2 2 2 2

Н1: х = у, где х – дисперсия первой ГС, у – дисперсия второй ГС.

2 этап. Выбираем уровень значимости .

3 этап. Вычисляем наблюдаемое по двум исходным независимым выборкам необязательно одинакового объема х1, х2, …, хn у1, у2, …, уm .

2 2

Вычисляем дисперсии: Sx Sy. Тогда наблюдаемое значение статистики критерия вычисляется по следующей формуле:

2 2

Fнабл. = Sx : Sy

4 этап. Находится критическое значение статистики критерия. В нашем случае статистика критерия имеет F-распределение Фишера со следующими степенями свободы: 1 = n – 1 2 = n – 1. Т.к. распределение Фишера не является симметричным, то нам придется искать два критических значения F1 и F2.

Для F-распределения Фишера имеется не одна, а несколько статистических таблиц, т.к. оно зависит от двух параметров 1 и 2. Поэтому сначала мы должны выбрать таблицу соответственной величине: 1 - /2, (если таблица называется квантили распределения) или величине /2, (если таблица называется верхние процентные точки). После этого в выбранной таблице находят столбец, соответствующий числу степеней свободы 1 и 2. На пересечении выбранных строки и столбца будет находиться критическое значение F2.

Для нахождения критического значения F1 мы сначала должны найти промежуточное значение Fпр. Оно находится в той же таблице, что и F2, только сначала находится столбец, соответствующий числу степеней свободы 2 и строка, соответствующая числу степеней свободы 1. На пересечении выбранной строки и столбца будет находиться промежуточное значение Fпр., тогда F1 = 1/Fпр.

5 этап. Делаем вывод о правильности той или иной гипотезы по следующему правилу, если 1) F1 < Fнабл. < F2, то принимается нулевая гипотеза Н0, т.е. делаем вывод о том, что дисперсии двух рассматриваемых ГС статистически одинаковы на уровне значимости . 2) если Fнабл. < F1 Fнабл. > F2 , то принимается альтернативная гипотеза Н1, т.е. делаем вывод о том, что эти дисперсии статистически различны на уровне значимости .

Fнабл.

F1 < F2 - для контроля.

Н1 Н0 Н1

F1 F2

Примечание. Рассмотренный в этом параграфе критерий в литературе называется F-критерий Фишера.