13. Статистический вывод. Проверка гипотез

На практике часто приходится делать некоторые выводы по имеющемуся у нас небольшому объему данных (выборки) о свойствах всей генеральной совокупности. Эти выводы осуществляются с помощью определенных статистик и поэтому называются статистическими. Теория статистического вывода занимает центральное место в статистике. Основным способом, с помощью которого делаются статистические выводы, является проверка гипотез.

Существует два вида гипотез: 1) научные 2) статистические. Научная гипотеза – это предполагаемое решение некоторой проблемы. Она обычно формулируется в виде теоремы. Статистическая гипотеза – некоторое утверждение относительно неизвестного параметра или какой-либо характеристики. Например, среднее значение генеральной совокупности равно 125 х=125 или коэффициент корреляции равен 0 =0. Для проверки статистических гипотез используются статистические критерии, которые представляют собой некоторое правило, по которому мы делаем вывод о правильности или неправильности рассматриваемой статистической гипотезы.

14. Общая схема проверки статистической гипотезы

Она состоит из пяти этапов:

1 этап – выдвигаются две статистические гипотезы: 1) основная нулевая Н0 и 2) альтернативная (конкурирующая) Н1.

Например, Н0 среднее значение ГС = 125.

Н1 среднее значение ГС = 125. Математически это можно записать: Н0: х = 125

Н1: х = 125 ( х < 125 : x > 125).

2 этап – задаемся уровнем значимости . Статистический вывод никогда не может быть сделан со стопроцентной уверенностью. Всегда допускается риск принятия неправильного решения. При проверке статистических гипотез мерой такого риска и выступает уровень значимости, который обычно обозначается . Фактически уровень значимости представляет собой долю и процент ошибок, которые мы можем себе позволить при статистических выводах. Чаще всего используют следующие три значения уровня значимости. = 0,1 или 10%; = 0,05 или 5%; = 0,01 или 1%. Наиболее популярным из них является = 0,05 или 5% (допускается 5% ошибок, если всего 100 выборок).

3 этап – по исходным данным, т.е. по выборке вычисляется наблюдаемое значение статистики критерия. В общем случае будем ее обозначать gнабл. Для этого используются статистические таблицы. Выбор необходимой статистической таблицы осуществляется в зависимости от распределения статистики критерия. При проверке статистических гипотез статистика критерия выбирается (статистиками) таким образом, чтобы она имела одну из рассмотренных в параграфе 11 распределений.

5 этап – путем сравнения найденных наблюдаемых критических значений делаем вывод о правильности этой или иной гипотезы. Наиболее часто встречаются следующие ситуации:

8 наблюдений

Н1 Н0 Н1

-gкр gкр

8 наблюдений

Н0 Н1

gкр

15. Сравнение средних значений количественных признаков двух независимых выборок

Часто на практике возникает задача сравнения средних значений исследуемого показателя, признака для двух разных генеральных совокупностей. Например, одинаков ли средний уровень коэффициента IQ для мальчиков и девочек одного и того же возраста. При решении такой задачи необходимо, чтобы исследуемый признак был измерен в количественной шкале. Таким образом, будем считать, что в результате эксперимента в качестве исходных данных у нас имеются две выборки необязательно одинакового объема: х1, х2, …, хn и y1, y2, …, ym, где n = m. Необходимо обращать внимание на то, чтобы эти две выборки были независимыми, т.е. чтобы элементы 1 выборки не влияли на значения элементов 2 выборки. Для решения поставленной задачи воспользуемся общей схемой проверки статистической гипотезы.

1 этап. Выдвигаются две гипотезы: основная нулевая о том, что средние значения исследуемого признака двух рассматриваемых ГС статистически одинаковы и альтернативная гипотеза о том, что эти средние значения статистически различны.

Н0 : х = у, где х – среднее значение 1 ГС

Н1 : х = у, где х – среднее значение 2 ГС

2 этап. Задаемся уровнем значимости .

3 этап. Вычисляется наблюдаемое значение статистики критерия. Для этого сначала по исходным выборкам вычисляется среднее значение х и у

2 2

(см. меры центральной тенденции), а также дисперсии Sх Sy . Тогда наблюдаемое значение статистического критерия вычисляется по следующей формуле: 2 2

tнабл. = (х – у) : ((n - 1) Sx + (m – 1) Sy ) : (n + m – 2) ( 1/n + 1/m)

4 этап. Находим критическое значение статистики критерия. В нашем случае статистика критерия имеет t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы

= n + m – 2

Поэтому для нахождения критического значения необходимо воспользоваться статистической таблицей распределения Стьюдента. В этой таблице находим столбец, соответствующий величине 1 - /2, если таблица называется квантили распределения или величине /2, если таблица называется верхние процентные точки распределения. В этой же таблице находим строку, соответствующую числу степеней свободы = n + m – 2, на пересечении выбранных строки и столбца и находится требуемое нам критическое значение tкр.

5 этап. Делаем вывод о правильности той или иной гипотезы по следующему правилу:

1) если - tкр< tнабл. < tкр, то принимается нулевая гипотеза Н0, т.е.на основе имеющихся данных мы делаем вывод о том, что средние значения двух рассматриваемых генеральных совокупностей статистически одинаковы на уровне значимости .

2) если же tнабл.< - tкр или tнабл. > tкр, то принимается альтернативная гипотеза Н1, т.е. делается вывод о том, что средние значения двух рассматриваемых ГС статистически различны на уровне значимости .

tнабл.

Н1 Н0 Н1

- tкр tкр

Пример: был проведен эксперимент по исследованию влияния усовершенствованного пособия (вводный материал, подготавливаемый к восприятию изучаемого предмета) на успеваемость по определенному разделу математики. 50 учащихся были разбиты случайным образом на две группы: 25 (1 группа) знакомились с усовершенствованным пособием, а 25 (2 группа) не знакомились, в конце эксперимента всем учащимся был предложен тест на усвоение понятий определенного раздела математики. В качестве измеряемых признаков рассматривалось количество правильных ответов. Проверить гипотезу о наличии или отсутствии влияния усовершенствованного пособия на успеваемость по математике.

В нашем случае в качестве измеряемой переменной рассматривалось количество правильных ответов, поэтому она измерена в количественной шкале. Так как учащиеся разбивались на 2 группы случайно, то в результате эксперимента мы получили две независимых выборки. х1, х2, …, х25 и у1, у2, …, у25. По полученным выборкам были найдены средние значения х=7,65;

2 2

у=6,0 и дисперсии Sx=6,5 Sy=5,9 n=25 m=25 =0,05

t

30 2,042

1, 96

= (7,65 – 6,0) : (((25 – 1) 6,5 + (25 – 1) 5,9) : (25+25 – 2) (1/25 +1/25)) = 2,34. Найдем в статистической таблице tкр. /2 = 0,05/2 = 0,025. = 25 – 25 – 2 = 48

(часть таблицы) tкр = 2, 01

Н1

- 2, 01 2,01 2,34

tнабл. > tкр., то мы должны принимать альтернативную гипотезу Н1 о статистическом различии средних значений. Имеется влияние усовершенствованного пособия на среднюю успеваемость по математике на уровне значимости 0,05 (5% ошибок допускается). Глядя на соотношение между х и у (в нашем случае х>у), делаем вывод, что усовершенствованное пособие повышает среднюю успеваемость по математике.

Примечания.

1. Рассмотренный в этом параграфе критерий должен применяться для выборок, извлеченных из ГС и имеющих нормальное распределение с одинаковыми дисперсиями.

2. Если исходные выборки извлечены не из нормальной ГС, то необходимо воспользоваться критерием, рассмотренным далее в параграфе 17 или критерием этого параграфа, но при этом помнить, что полученные выводы будут приближенными, т.е. могут оказаться неправильными.

3. Предположение о равенстве дисперсий может легко, если брать обе выборки одинакового объема.

4. Рассмотренный в этом параграфе критерий в литературе обычно называется t-критерий Стьюдента.