2. 4. Решение задач Задача 1
Z3
=
{
},
Z4
=
{
}.
Найти Z3*
Z4*,
построить
таблицу Кэли для умножения Z3*
Z4*.
Является
ли Z3*
Z4*
абелевой
группой? Какой мультипликативной группе
классов вычетов она изоморфна?
Решение. 1) Построим таблицу Кэли по сложению для групп Z3 = { },
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z4 = { }
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Z3*
=
{
},
Z4
*
=
{
}.
Умножение в Z3*
и
в Z4
*
зададим
таблицами Кэли
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Прямое произведение групп Z3* Z4 *={( , ),( , ),( , ),( , )}
|
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
4) Элементы таблицы, симметричные относительно диагонали, совпадают, поэтому группа Z3* Z4* является абелевой.
5) Из теории известно,
что если (m,
n)
= 1, то Zm*
Zn*
Zmn*.
Поэтому
имеем: (3, 4) = 1
Z3*
Z4
*
Z12*=
{
,
,
,
}.
Итак, Z3* Z4 * Z12*= { , , , }.
Задача 2
Найти порядок группы Z5* Z12 *.
Решение. Так как 5 и 12 взаимно простые числа то порядок прямого произведения групп можно вычислить, используя функцию Эйлера. (Если (m, n) = 1, то Zm* Zn * Zmn*)
( 5, 12) = 1 Z5* Z12 * Z60* | Z5* Z12 * | | Z60*|= (60) = 16
Ответ: порядок группы Z5* Z12 * равен 16.
Задача 3
Вычислить: а)
-1
в
Z7,
Z7
=
{
,
,
,
},
(
)-1=
,
так как
=
;
б) -1 в Z5, Z5 = { , , }, ( )-1= ;
в)
-1
в
Z13,
Z13=
{
,…
,
},
(
)-1
=
.
Задача 4
Вычислить класс -1 в Z11 с помощью теоремы Эйлера.
Решение. Теорема Эйлера, если (a, m) 1, то a 1(m) или ( , m) 1, ( ) (mod m)
(
,
11)
1, поэтому 7
1(11)
или 7
1(11).
Тогда 7
7
1(11),
поэтому
-1
=
(
)
. 79
= (72)4
7
54
7
(25)2
7
(3)2
7
9
7
63
8
(11).
-1
=
.
Заключение
Данная работа относится к наиболее развитому разделу современной алгебры – теории групп. В работе последовательно без логических пробелов изложен весь математический аппарат; рассмотрены основные объекты теории: группы, подгруппы, нормальные подгруппы и фактор-группы, прямое произведение групп; продемонстрировано как теоретико-групповой аппарат можно использовать для доказательства некоторых основных теорем и решения задач теории чисел (доказаны теоремы Эйлера и Ферма, Вильсона, теорема о мультипликативности функции Эйлера). Цель работы можно считать выполненной.
Нами показано взаимодействие в процессе обучения высшей математики, таких фундаментальных математических понятий, как группа и число.
Материалы первой главы можно использовать при изучении раздела «Теория групп», а материалы второй главы доступны для изучения студентами вузов на спецкурсе.