Глава ш. Методические аспекты обучения младших школьников стохастике Стохастическая содержательно-методическая линия

Различным сторонам вопроса обучения стохастике посвящены работы Н.Н. Авдеевой, А.Я. Дограшвили, А. Плоцки, К.Н. Курындиной, С.А. Самсоновой и др. Исследования О.С. Медведевой, В.В.Давыдова, Б.Г. Гейдмана, А.Г. Рубиной, В.Д. Селютина, А.П.Тонких показывают, что формирование вероятностно-статистических представлений целесообразно начинать в начальной школе, так как с возрастом у человека формируется консервативное мышление, затрудняющее восприятие многих понятий комбинаторики, теории вероятностей, статистики.

Внедрение элементов стохастики в курс математики средней школы в виде одной из сквозных содержательно-методических линий и пропедевтически в начальное математическое образование влечет за собой необходимость формирования профессиональной компетентности будущих учителей − системы взаимосвязанных компонентов: фундаментальных предметных знаний, методических умений; профессионально-педагогичеких знаний и умений, профессионально значимых качеств личности учителя, которые реализуются в педагогической деятельности.

Основы профессиональной компетентности учителя формируются в вузе путем установления органической связи между теорией и практикой, что должно быть реализовано путем интеграции предметных знаний и освоения методики преподавания элементов стохастики в системе начальной школы. При формировании профессиональной компетентности педагога одинаково важны уровень его фундаментальной подготовки по базовой дисциплине и методической подготовки. В связи с этим возникает проблема формирования методической компетентности студентов, способных к успешной реализации вероятностно-статистической содержательно-методической линии в начальном курсе математики.

Для овладения специальной методикой обучения стохастике¹ в начальной школе необходимо наличие следующих компонентов.

1. Знание концептуальных основ теоретико-вероятностной содержательно-методической линии (истории возникновения и развития теории вероятностей, содержания, общей структуры курса, основополагающих идей и принципов данного раздела математики; знание целей изучения данной дисциплины в начальной школе, воспитательно-развивающего потенциала и способа его реализации).

2. Знание содержания данного раздела математики в методическом проецировании на школьное обучение (содержательной основы стохастики, результатов обучения, которыми должен овладеть выпускник начальной школы). Умения осуществлять компетентный анализ содержания программ, учебников математики; перспективное планирование; анализ логической структуры темы; отбор материала для формирования первоначальных вероятностных представлений младших школьников.

3. Знание методических приемов руководства познавательной деятельностью учащихся (этапов и средств формирования первоначальных представлений о случайных событиях, о вероятностях событий, форм организации учебно-воспитательного процесса в связи с конкретным содержанием) и умение применять их на практике. Владение методическими приемами работы над заданиями вероятностного характера, умениями осуществлять отбор материала, его систематизацию и переработку в интересах развития и совершенствования личности младшего школьника.

Перечисленные требования и определяют уровень вероятностно-статистической и методической подготовки студентов факультета педагогики и методики начального образования.

Основная цель теории вероятностей  изучение случайных явлений. В мире, в котором мы живем, достоверные или невозможные события являются крайними случаями; фактически они встречаются относительно редко. Очень важно, чтобы ребенок как можно раньше познакомился с идеей, что событие может быть возможно, но не обязательно  понятие промежуточное между достоверностью и невозможностью².

Существующее до недавнего времени образование приучало школьников подходить к оценке явлений реальной действительности лишь с позиций классического детерминизма, когда, согласно законам дедуктивного метода, все имеет причинно-следственный характер, строго определено и трактуется однозначно. Однако есть целый класс задач, в которых результат однозначно не определен и разрешить которые обычными жестко детерминированными способами порой бывает невозможно. Это вероятностные задачи, связанные со случайными событиями и явлениями. Их исходы нельзя предсказать заранее до их наблюдения, важно уметь количественно оценивать степень возможности их реализации.

Стохастическая составляющая способствует формированию ключевых компетенций, помогающих школьнику ориентироваться в окружающем мире, принимать адекватные решения в практической деятельности. Вероятностная терминология широко используется в прогнозах погоды, в выступлениях политических и общественных деятелей, например, при анализе происходящих событий и т.д. Вероятностная интуиция помогает находить правильное решение при участии в различных играх, адекватно оценивать шансы получить выигрыш, например, при участии в лотерее, выбирать оптимальную стратегию игры.

В понятии компетентности заложена идеология интерпретации содержания образования, формируемого как ожидаемый результат обучения. Методическая компетентность учителя ориентирована на достижение младшим школьником итоговых результатов обучения, отраженных в требованиях к уровню знаний, умений и навыков выпускника начальной школы.

В результате изучения стохастики учащиеся начальной школы должны:

 понимать смысл требования «перечисли все возможные варианты»;

 осуществлять систематический перебор всех возможных вариантов при решении комбинаторных задач;

 понимать и правильно употреблять термины: «невозможно», «возможно», «случайно», «чаще», «реже»;

 уметь фиксировать исход простейшего случайного эксперимента;

 осуществлять регистрацию результатов наблюдений;

 уметь записать данные, содержащиеся в тексте, в таблицу;

 понимать и извлекать информацию из простой таблицы.

Приступая к обучению стохастике, учитель нацеливает свою деятельность на достижение такого уровня.

Со случайными событиями можно встретиться всюду, где имеют место непостоянные причинные связи, где действуют многочисленные факторы, не поддающиеся учету. В практической жизни, в различных видах деятельности младшие школьники могут познакомиться с проявлениями процессов стохастической природы. Окружающая действительность, становясь объектом познания, способствует накоплению представлений о случайностях, разумеется, в самой конкретной, наглядной и простейшей форме. Таким образом, уже младшие школьники могут быть ознакомлены с такими сторонами действительности, ситуациями и фактами, которые позволяют акцентировать их внимание на особенностях явлений, имеющих ярко выраженную стохастическую природу³.

В психологии под представлениями понимаются наглядные образы предметов или явлений, возникающие на основе прошлого опыта (данных ощущений и восприятий) путем воспроизведения их в памяти или в воображении. Представление представляет сбой процесс и результат воспроизводства в виде образа какого-либо объекта, события, явления⁴. Под стохастическими представлениями будем понимать представления о мире случайных явлений, с нежесткими связями между ними.

Сталкиваясь с конкретными проявлениями случайностей, человек постепенно получает представления о них. Познание ребенком окружающего мира происходит от восприятия единичных предметов и явлений к образованию конкретных представлений и от обобщения последних к формированию понятий. Наиболее высокое качество отражения действительности в образе достигается тогда, когда ребенок представляет предмет, явление в реальных условиях его существования⁵. Поэтому началом формирования стохастических представлений можно считать восприятие детьми единичных случайных явлений, при этом оптимальным методом выделения характерных свойств случайного явления служит непосредственное наблюдение самого этого явления. В процессе проведения наблюдения важно показать младшим школьникам, что многие явления отличаются непостоянством. Одни события обязательно наступают, другие никогда не наступают, третьи − могут наступить, а могут и не наступить при данном комплексе условий. Одни результаты наблюдений получаются чаще, а другие реже, при этом в некоторых случаях результаты почти не отличаются друг от друга, а в других очень сильно рознятся. Таким образом, в процессе наблюдений явлений стохастического характера, у учащихся формируются самые первые вероятностно-статистические представления.

Одним из ведущих принципов формирования содержания общего образования, разработанных В.В. Краевским⁶, является принцип единства содержательной и процессуальной сторон обучения. Этот принцип выражает необходимость отбора стохастического содержания с учетом закономерностей формирования статистического мышления в соответствии с концепцией построения новой содержательно-методической линии.

В новой содержательно-методической линии стохастического образования принцип наглядности реализуется переходом от конкретных предметных действий, через графические представления, к абстрактным понятиям. Для того, чтобы сделать «живое созерцание» действенным, ученик должен научиться анализу визуальной информации. Прежде всего, должно произойти осознание общей структуры предложенного изображения статистических данных. Процесс формирования статистического мышления неразрывно связан, таким образом, с «визуальным мышлением» (то есть зрительным, наглядным)⁷.

«Визуальное мышление  это человеческая деятельность, продуктом которой является порождение новых образцов, создание новых визуальных форм, несущих определенную смысловую нагрузку и делающих знание видимым»⁸. Статистическая культура непосредственно соотносится с культурой зрительного восприятия, которая требует такого же длительного и серьезного воспитания, как культура письма и речи.

В педагогической психологии усвоение нового тесно связано с осуществлением предметных действий, и, следовательно, с образом объекта и знаниями о способах действий⁹. В процесс формирования первоначальных статистических представлений необходимо включить предметные действия учащихся с объектами, которые обеспечивают основу познания случайных явлений. Работая с предметами, младшему школьнику легче наблюдать за своими действиями и управлять ими.

Исходя из этого, перед нами возникает задача определения видов предметной деятельности, соответствующих возрасту учащихся начальной школы, в которых были бы использованы максимальные возможности для формирования стохастических представлений.

Наглядное отражение особенностей случайных явлений и возможность их массового наблюдения может быть осуществлено в процессе игры. Игрой называют вид непродуктивной деятельности, мотив которой заключается в самом процессе. В игровой деятельности учащихся отражается опыт и культура, потребности и мотивы каждого.

В структуре психики учащихся младшего школьного возраста, важную роль играет конкретно-образное мышление. Несмотря на то, что в школьном возрасте учение становится ведущим видом деятельности, младших школьникам присущи игровые интересы, поэтому нельзя не учитывать обучающего и развивающего влияния игры. Когда игра включается в целостный педагогический процесс, она становится средством воспитания. Ценность игры заключается я в том, что, при воздействии на группу играющих детей, педагог через данную группу оказывает воздействие на каждого из учащегося. Учитель формирует не только игровые отношения, но и реальные, закрепляя полезные привычки в нормы поведения детей в разных условиях и вне игры таким образом при правильном руководстве детьми игра становится школой воспитания.

Стохастическими будем называть такие игры, в которых возможно наблюдение явного, отчетливого проявления фактов стохастической природы¹⁰. Многие популярные среди детей игры предполагают использование игрального кубика, исходы подбрасываний которого определяют число шагов в продвижении игрока к цели. При подбрасывании кубика дети имеют возможность наблюдать отчетливо выраженные случайные события.

Игра органически присуща детскому возрасту и при умелом руководстве со стороны учителя способна стать дидактическим приемом. Игровая и учебная деятельность перерастают одна в другую, оказывая развивающее воздействие на учащихся, приучая видеть неоднородность и многообразие явлений, выделять из них случайные и закономерные. Игровые элементы, вводимые в урок, оживляют процесс осмысления материала, делая его более занимательным, интересным; вызывают стремление проявить догадку. Придавая учению форму игры, мы создаем основу для развития творчества, стремления к научному познанию, познавательного интереса как свойство личности младшего школьника.

Приведем примеры игр и заданий, которые можно использовать при знакомстве младших школьников с понятиями теории вероятностей.

Данная ситуация направлена на развитие представлений младших школьников о невозможных событиях, достоверных событиях, а в отношении случайных событий, на формирование понятий более вероятное событие, менее вероятное событие.

Пример. Положим в мешок 3 красных, 3 белых и 3 зеленых шара. Какое событие более вероятно: извлечь шары 3 цветов или двух?

Рис.1

Производятся последовательные извлечения с возвращением групп по четыре шара, то есть вытаскиваются четыре шара, записываются их цвета, после чего шары возвращаются в мешок и ее содержимое перемешивается.

Целесообразна следующая система вопросов. Можно ли получить все шары одного цвета? Можно ли получить шары четырех цветов? Какой из этих случаев более вероятен? Учащиеся производят десять последовательных извлечений. Как вы думаете, будут более часто получаться два цвета или три? Или одинаково часто?

В каком из случаев имеется наибольшая возможность получить шары трех цветов  если вытащить 3, или 4, или 5, или 6 шаров?

При проведении данной игры можно использовать технологию работы в группах по два-три человека. Так они могут произвести большое количество испытаний; тогда учащиеся убедятся, что более вероятно вытащить 3 цвета, нежели два. От них можно даже ожидать неких зачаточных рассуждений, объясняющих этот результат.

Пример. Игра «Сколько окажется на своём месте?» Эта игра помогает на интуитивном уровне подвести учащихся к понятию относительной частоты.

Учащимся предлагают 5 одинаковых карточек с изображенными на них цифрами от 1 до 5, затем перетасовывают их и выкладывают на стол в той последовательности, в которой они оказались после перетасовывания, например, в такой:

При этом только одна цифра  «5» – соответствует номеру места, на котором она лежит.

Далее можно сформулировать серию вопросов, на которые учащиеся должны ответить на основании данных, полученных в ходе экспериментов.

Как вы думаете, насколько редким является исход

?

Будет ли ещё более редкий случай, когда ни одна карточка не окажется на своем месте? Будет ли случай, когда все карточки лежат на своем месте? Что можно сказать о частоте исхода, когда две (три, четыре) цифры окажутся на своем месте?

Пример. Игра «Какова сумма?». Эта игра поможет подвести учащихся к понятию вероятности с точки зрения классического определения.

Нарисуем большой прямоугольник, 1411 клеток. Между 14 детьми распределим 14 жетонов, пронумерованных от 1 до 14. Учащиеся ставят свои домики на линию старта на клетку с соответствующим номером. Бросаем две большие игральные кости. После каждого подбрасывания костей ребенок, номер которого равен сумме очков на выпавших гранях, продвигается на одну клетку к финишу. Выигрывает тот, кто первым достигнет финиша.

Очень скоро учащиеся догадываются, что некоторые из них находятся в более благоприятных условиях, чем другие, и что участники, получившие номера 1, 13, 14, не имеют никакого шанса продвинуться вперед (имея две кости, невозможно в сумме получить 1 или число, большее 12). Тогда учащиеся решают, что в следующей партии эти числа надо отбросить. Учащиеся хотят получить номер 5, 6, 7, 8, 9, но никто не хочет взять 2, 3, 4, 10, 11 или 12. Разумно попробовать обосновать, почему так происходит, попросив младших школьников ответить на вопрос, сколькими способами можно получить 2, 3, 4,…,12 очков при бросании двух игральных костей.

На определенном этапе в игре младшие школьники начинают проявлять некоторые черты исследовательской деятельности, что влечет за собой переход от игр к экспериментам.

Под статистическим экспериментом будем понимать чувственно-предметную деятельность, направленную на изучение искусственно вызываемых случайных явлений при соблюдении определенного комплекса условий¹¹. Стохастическая игра предполагает простое наблюдение случайного явления, а статистический эксперимент содержит в себе учет наблюдаемых фактов. Например, если школьник, неоднократно подбрасывая игральный кубик, ведет учет результатов испытаний, чтобы по ним сделать какие-то выводы, то в этом случае следует говорить, что он проводит статистический эксперимент. Если же при подбрасывании кубика такой цели не ставится, то это будет стохастическая игра. Разделение на игры и эксперименты довольно условно: мы приводили примеры игр, в которых содержатся элементы экспериментирования, с другой стороны, статистические эксперименты во многих случаях могут быть организованы в форме игр.

Можно предложить игру между двумя командами А и В.

Пример. Положим в урну пять красных и три синих шара. Перед тем, как вытаскивать шары, каждая команда делает предположения относительно возможных исходов.

Исходы	Команда А	Команда Б
КК
КС
СС

Учащиеся проделывают двадцатикратное извлечение двух шаров с возвращением. Они вытаскивают шары, подсчитывают различные исходы и вычисляют расхождения между предсказаниями и реальными результатами.

Исходы	Команда А	Команда Б	Результат	Ошибка А	Ошибка Б
КК
КС
СС
Сумма ошибок

Выигрывает команда, которая получает наименьшую сумму расхождений.

Эту игру проводят несколько раз, каждый раз увеличивая число извлечений. На каждом этапе у детей наблюдается тенденция к улучшению предсказаний. Затем они анализируют ситуацию.

Имеется три способа вытащить два красных шара, шесть способов вытащить один красный и один синий шар и один способ вытащить два синих шара.

Таким образом, на 100 извлечений имеется примерно 30 случаев, когда оба шара будут красными, 60 случаев, когда они будут разного цвета, и 10 случаев, когда они будут синими

Пример. Покажем группе учащихся 19 шаров, 8 из которых желтые, 6 – синие, а 5 – красные. Положим шары в мешок, перемешаем и вытащим сразу два. Однако перед тем, как их вытаскивать, попросим младших школьников угадать цвета обоих шаров.

Чтобы учащимся не пришлось запоминать число шаров каждого цвета, положим на стол 8 желтых, 6 синих и 5 красных жетонов.

Для начала будем вытаскивать шары без возвращения: тогда ситуация будет меняться после каждого извлечения, что в большой степени стимулирует активность учащихся.

Затем перейдем к извлечению пар шаров с возвращением: теперь младший школьник может сравнить свой ответ с результатом извлечения и постепенно улучшить стратегию. В самом деле, ситуация восстанавливается после каждого извлечения, и, следовательно, вероятности всех событий остаются постоянными, а все изменения вызваны случаем.

Большинство учащихся полагают, что, безусловно, с большей вероятностью можно вытащить два желтых шара, чем желтый и синий шары, поскольку желтых шаров больше, чем синих и чем красных. На деле все обстоит наоборот.

Эксперимент сам по себе здесь недостаточен, и даже если бы он и был таковым, он не давал бы возможности убедить учащихся в их ошибке. Наилучшим способом вызвать на размышление является расхождение между предположениями и опытом. Не обязательно знать комбинаторику, чтобы понять, что эта ошибка проистекает из плохого понимания ситуации. Можно представить аналогичную, но более простую ситуацию: положим в мешок два белых шара и один черный.

В игре младшие школьники отражают окружающую действительность, и познают те или иные доступные их восприятию и пониманию факты, явления. Используя игру как средство ознакомления с окружающим миром, педагог может направить внимание учащихся на те явления, которые ценны для расширения круга представлений. Руководя игрой, педагог воспитывает активное стремление узнавать, искать, проявлять усилие, находить, что содействует умственному и общему развитию личности ребенка, обогащает духовный его мир.

Приведем примеры заданий статистического характера с элементами игры.

Пример. Ребята решили сыграть в «Поле чудес» и изготовили самодельную рулетку. За время игры стрелка останавливалась на секторе «Приз»  3 раза, на секторе «Банкрот»  2 раза, на секторе «+»  1 раз, на секторе « 250»  4 раза, на секторе «100»  5 раз , на секторе «50»  3 раза, на секторе «10»  6 раз, на секторе «25»  7 раз. Занесите эти данные в таблицу.

Пример. Ученикам предлагается задание. Сыграем в «Поле чудес» с помощью самодельной рулетки. Занесите полученные данные в таблицу.

Пример. Учащимся предлагают написать на каждой карточке имена своих одноклассников. Все карточки кладутся вместе в одну стопку. Один из учеников наугад вынимает одну карточку. Регистрируют имя, записанное на вынутой карточке. Вынутую карточку возвращают обратно в стопку и перемешивают все карточки. Повторяют этот опыт несколько раз. Учащимся заполняют таблицу.

Вид карточки	Имя мальчика	Имя девочки
Количество карточек

Перед учениками ставится вопросы. Каких карточек вынуто больше  на которых записаны имена девочек или на тех, где записаны имена мальчиков? Согласны ли вы продолжать такую игру, при которой выигрывают девочки, если вынуто больше карточек с именами девочек, и, наоборот, выигрывают мальчики, если больше вынуто карточек с именами мальчиков?

Пример. Проводится опрос (открытый или анонимный) о выборе профессии каждым учеником класса. Составляется таблица. Дальнейшая беседа направляется вопросами: «Какая профессия наиболее популярна среди учеников класса? Есть ли в нашем городе учебное заведение для получения этой профессии? Если в некотором городе нет такого учебного заведения, то достаточно ли полученных вами сведений для постановки вопроса об его открытии?