Вопросы для самопроверки

1. Охарактеризуйте вероятностно-статистическую содержательную линию, включенную в образовательный стандарт основного общего образования по математике.

2. Чем обусловлено внедрение элементов стохастики в курс математики начальной школы?

3. Наличие каких компонентов необходимо для овладения специальной методикой обучения стохастике¹⁸ в начальной школе?

4. На достижение какого уровня нацеливает свою деятельность учитель при изучении стохастики?

5. Какие взаимосвязанные направления выделяют в содержании стохастической содержательно-методической линии?

6. Какова роль и значение обучения младших школьников решению комбинаторных задач?

7. Какие виды комбинаторных заданий решаются в начальной школе? Приведите примеры из учебников математики для начальной школы.

8. Назовите методы решения комбинаторных задач охарактеризуйте каждый из них.

9. Какие этапы предусматривает работа над комбинаторными заданиями в начальной школе? Дайте краткую характеристику каждому из них.

10. Приведите пример комбинаторной задачи, при решении которой целесообразно использовать граф-дерево. Решите ее.

11. Какие этапы предусматривает работа над формированием первоначальных вероятностных представлений младших школьников? Дайте краткую характеристику каждому из них. Приведите примеры заданий, которые могут быть предложены младшим школьникам на каждом этапе.

12. Охарактеризуйте методику работы над заданиями вероятностного характера в начальной школе.

13. Охарактеризуйте средства формирования первоначальных вероятностно-статистических представлений у младших школьников.

14. Какие виды вероятностных задач решаются в начальной школе? Какие мыслительные операции используются при их решении?

15. Придумайте вероятностную задачу и покажите ее решение, используя графы.

16. Формированию каких ключевых компетенций младшего школьника способствует стохастическая содержательно-методическая линия?

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1. Приведем примеры комбинаторных задач для учащихся начальных классов, составленных студентами нашего факультета. Решите их методом перебора и используя формулы комбинаторики. Выбор формул обоснуйте.

а) Аня, Боря, Вера и Гена – лучшие лыжники школы. На соревнования надо выбрать из них троих. Сколькими способами можно это сделать?

б) Круг разделили на две части и решили раскрасить их карандашами разных цветов. Сколькими способами можно это сделать, если имеются красный, зеленый и синий карандаши?

в) При изготовлении авторучки корпус и колпачок могут иметь одинаковый или разный цвет. На фабрике есть пластмасса четырех цветов: белого, красного, синего и зеленого. Какие отличающиеся по цвету ручки можно изготовить?

г) Мальвина обучает Буратино следующим предметам: танцам, математике, письму и этике. Сколько вариантов расписания можно составить на день так, чтобы было 4 различных урока?

д) За свои рисунки Костя получил две положительные отметки. Какими они могут быть?

е) В соревнованиях участвуют 5 футбольных команд. Сколько матчей будет сыграно, если каждая команда играет один раз с каждой из остальных команд?

ж) Софья взяла в библиотеке 4 книги: «Сказки» Г.Х.Андерсена, «Приключения Буратино» А.Толстого, «Приключения Незнайки и его друзей» Н. Носова и «Русские народные сказки». В каком порядке Софья может прочитать эти книги? Сколькими способами Софья может прочитать эти книги?

Задачи на осуществление сокращенного перебора.

з) запиши все четные двузначные числа, которые можно образовать из цифр 9, 2, 7, 4, при условии, что каждая цифра используется в записи числа один раз. Сколько их получилось?

и) Имеется 5 букв: С, У, И, М, Н. Сколько существует способов расположения этих букв в ряд, если на 1 месте будет стоять буква М и буквы, обозначающие гласные звуки, не будут стоять рядом?

Задание 2. Ниже приведены задачи, основу которых составляют теоретические положения данного раздела математики взяты из учебников математики для начальных классов. Решите их разными методами.

а) Трое ребят играли в шашки. Всего они сыграли 3 партии. Сколько партий сыграл каждый, если все они сыграли поровну? Для пояснения решения на схему.

б) В зале три люстры и шесть окон. К празднику для украшения от каждой люстры к каждому окну протянули гирлянду. Сколько всего повесили гирлянд?

Задание 3. Теоретические положения рассмотренных разделов математики лежат в основе многих занимательных и нестандартных задач, которые широко представлены как в учебниках математики, так и в научно-популярной литературе, ориентированной на проведение внеклассной работы со школьниками.

Решите задачи, которые могут использоваться для проведения внеклассной работы с младшими школьниками.

а) Сколько раз в календаре встречается день с цифрами 1 и 3 (с учетом их повторения в числах каждого месяца)?

б) Однажды встретились пятеро друзей. Каждый, здороваясь, пожал руку другому. Сколько всего сделано рукопожатий?

в) У мамы есть яблоки, груши, крыжовник и смородина. Сколько различных компотов может приготовить мама, если брать для одного компота будет три разных компонента?

г) В ящике шкафа 3 пары носков, разбросанных на полке. Сколько носков нужно вынуть, не глядя в шкаф, чтобы наверняка иметь одну пару носков, подходящих друг другу?

д) Игральный кубик подбросьте несколько раз. Какие из следующих событий являются возможными (случайными), а какие невозможными или достоверными:

− кубик, упав, останется на ребре;

− выпадет только одно из чисел: 1,2,3,4,5,6;

− выпадет число 6;

− выпадет число 4;

− выпадет чётное число;

− выпадет нечётное число;

− выпадет число, которое делится на 5;

− выпадет число, которое делится на 7;

− выпадет число, которое делится на 3?

е) Подбрасывают 2 игральных кубика. Возможно ли, что:

− сумма выпавших очков будет четной? нечетной?

− сумма очков равна 6?

− сумма очков равна 12?

−больше 12?

ж) Маша и Миша играют в настольную игру. Ход определяет сумма очков, выпавших на двух игральных кубиках. Если выпавшее число больше 6, ходит Маша, меньше 6 – ход передается Мише. Когда выпадает 6, фишки ребят стоят на месте. У кого из ребят больше шансов выиграть?

Задание 4. Следующие задания предложены студентами нашего факультета для проведения игрового урока по комбинаторике. Решите их методом перебора и используя формулы комбинаторики. Выбор формул обоснуйте.

На бескрайних просторах египетской пустыни компания сорвиголов разных национальностей рыщет в поисках несметных сокровищ фараона, над которым тяготеет жуткое древнее проклятие. Рядом с кладом покоится мумия коварного жреца, жестоко казненного за ужасное убийство могущественного правителя Египта. Молодые и обаятельные искатели сокровищ сначала находят древнеегипетский город мертвых. При раскопках древней гробницы Фрэнк и его друзья нашли мумию, а затем красивые книги с разными заклинаниями. (Показ фрагмента фильма.) Книги написаны на древнеегипетском языке¹⁹, искатели сокровищ  англичане. Чтобы прочесть книги необходимо, решить задачу.

Задача 1. В группе искателей сокровищ сорок человек, из них 23 человека знают египетский язык, 32  английский, двое говорят только на итальянском языке. Есть ли в группе те, кто говорит и на английском языке и на египетском.

Задача 2. Сколько лет мумия Имотепа пролежала в пирамиде, если известно, что записать количество ее лет можно трехзначным числом с помощью цифр 1, 2, 3, и если отнять от числа сотен число десятков, а потом прибавить число единиц, то получится 2 (цифры в записи числа не повторяются)?

Мумия египетского жреца проснулась и теперь хочет всех людей уничтожить. В мгновение ока она может из истлевшей твари превратиться в гору песка, потом подняться стремительным вихрем до небес, разверзнуть свою пасть и в один присест проглотить что угодно. Ей повинуются армия древнеегипетских слуг и жуки, роющие норки в человеческом организме. (Показ фрагмента фильма.) Всеми миру угрожает опасность. Нужно вернуть Имотепа опять в царство мертвых. Для этого необходимо произнести заклинание, но оно зашифровано.

Задача 3. Часть этого заклинания хранится в «Книге Живых» («Книга Амон-Ра»), а вторая часть в «Книге мертвых». Для начала необходимо открыть книгу «Амон-Ра», подобрав одно из 5 имеющихся различных слов на египетском языке, затем  «Книгу Мертвых», подобрав подходящее слово из 3 имеющихся. Сколькими способами можно это сделать?

Задание 5. Приведем примеры вероятностных задач и стохастических игр для учащихся начальных классов, составленных студентами нашего факультета. Решите их, используя формулы теории вероятностей. Как можно организовать работу над ними в начальной школе?

1. Подбросили два игральных кубика. Какое событие обязательно произойдет, какое событие не произойдет никогда, а какое событие может произойти или не произойти: сумма выпавших очков больше 10; сумма выпавших очков больше 1; сумма выпавших очков равна 1; сумма выпавших очков больше 13; сумма выпавших очков равна 13; сумма выпавших очков меньше 13?

2. В корзине четыре серых и два рыжих котенка. Наугад достали трех котят. Котят какого цвета могли достать из корзины? Сколько котят нужно достать из корзины, чтобы среди них был хотя бы один серый?

3. Есть 5 зрелых и 3 незрелых ананаса. Сколько ананасов нужно купить, чтобы среди них был хотя бы один зрелый?

4. В коробке три синих и три желтых кубика. Сколько кубиков нужно вынуть наугад, не глядя в коробку, чтобы наверняка иметь: а) хотя бы один синий кубик? б) два кубика разных цветов? в) ни одного синего кубика?

5. В новогоднем подарке конфеты «Белочка», «Мишка на Севере» и «Мишка косолапый», не различимые на ощупь. Сколько конфет нужно взять из сумки наугад, чтобы наверняка вынуть конфету «Мишка косолапый»?

6. В урне 3 черных и 4 белых шара. Какое количество шаров нужно вынуть наугад, не глядя в урну, чтобы быть уверенным в том, что: а) будет 2 черных шара; б) 3 шара будут разного цвета.

7. Подбрось монету 20 раз и заполни таблицу, в которой отметь, сколько раз выпал герб и сколько раз выпала решка. Сравни свои результаты с результатами товарища. Почему ваши результаты не совпадают?

8. Винни-Пух и Пятачок идут в гости к Кролику. Чтобы было веселее, они придумали игру. Подбрасывают монету: выпадет орел  Винни-Пух делает 10 шагов, выпадет решка – то же самое проделывает Пятачок. У кого больше шансов прийти первым в гости, если каждый сделает одинаковое количество подбрасываний?

9. Все двузначные числа написаны на карточках. Миша случайным образом выбрал одну карточку. Как ты думаешь, какое событие не произойдёт никогда, какое будет обязательным, а какое может быть случайным: а) на карточке оказалось простое число; б) на карточке оказалось составное число; в) на карточке оказалось ни составное, ни простое число; г) на карточке оказалось четное или нечетное число?

10. В вазе лежат конфеты и печенье. Света и Катя подбрасывают игральный кубик. Если выпадет четное число, девочки берут из вазы по конфете, если – нечетное, они лакомятся печеньем. Каких шансов у девочек больше: полакомиться конфетами или печеньем?

11. Катя и Даша решают, куда пойти: в кино или на концерт. Они из корзины, в которой лежат 3 красных и 2 желтых шарика, не различимых на ощупь, достают наугад 1 шарик, а затем кладут его обратно. Проделывают это несколько раз. Если из вынутых шаров красных окажется больше, девочки идут в кино, если большее количество раз вынут желтый шар, они посещают концерт. Куда пойти шансов больше: в кино или на концерт?

12. Ира, Маша, Света и Катя играют в игру. Роль ведущего определяет сумма очков, выпавших на 2-х игральных кубиках. Если количество очков меньше 6, ведущим становится Ира, количество очков – от 6 до 9 включительно, ведущая Маша, от 10 до 12 включительно – ведущая Света, а если количество очков равно 1 или больше 12 – ведущая Катя. У кого из девочек больше шансов быть ведущим? У кого шансов нет?

13. Исследование на тему «Самый популярный певец». Каждому ученику предлагают записать на листке бумаги фамилию певца (певицы), который ему больше всего нравится. Данные анализируются: листочки раскладываются по группам и подсчитывается их число в каждой группе. Полученные сведения можно оформить в виде таблицы. Так определяется, кто самый популярный среди учеников класса певец.

14. Исследование на тему «Как я провожу выходной день». Каждому ученику предлагают подсчитать примерное число часов, затраченных на основные виды деятельности: прогулка, приготовление уроков, помощь родителям, чтение, просмотр телевизионных программ. Результаты изображаются с помощью таблицы. Перед ученикам ставятся вопросы: «Какой вид деятельности вам больше нравится? Какой приносит наибольшую пользу? Предполагаете ли вы изменить свой распорядок выходного дня после этого исследования?».

15. Исследование на тему «Школьная неделя». Ученикам класса выдается задание: составить список всех учебных предметов, изучаемых ими в школе; подсчитать количество уроков, приходящихся на каждый из них в течение недели; полученные сведения представить таблицей.

1 Селютин В.Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: Дис. ... д-ра пед. наук. М., 2002. с.247.

2 Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях. М: Просвещение, 1979.

3Селютин В.Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: Дис. ... д-ра пед.наук. М., 2002. с.63.

4 Немов Р.С. Психология: Учеб. для студ.высш. пед.уч.заведений: В Зкн.3-е изд. М.: Гуманит.изд.центр ВЛАДОС, 1999. Кн. 1.Общие основы психологии.688с.

5Баранов СП. Чувственный опыт ребенка в начальном обучении. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1983.с.45.

6 Краевский В.В. Содержание образования: вперед к прошлому. -М.: Педагогическое общество России, 2001. с.3-6.

7 Архейм Р. Визуальное мышление /Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления.-М.: Изд-во Моск.ун-та, 1981, с.97-108.

8 Зинченко В.П. Образ и деятельность. -М.: Изд-во «Институт практической психологии», Воронеж: МОДЭК, 1997. С.608.

9 Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. М.: Педагогика, 1981. 185 с.

10 Селютин В.Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: Дис. д-ра пед.наук. М., 2002. с.92.

11 Селютин В.Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: Дис. д-ра пед.наук. М., 2002. с.96.

12 Плоцки А. Стохастика в школе как математика в стадии созидания и как новый элемент математического и общего образования: Дис....д-ра пед.наук в форме науч. докл. - С.-Петербург, 1992. – с.44.

13 Каблуков Н.А. Статистика: (Теория и методы статистики. Основные моменты в истории ее развития).5-е изд., стереотип. М.: Центр.стат.упр., 1922, с.74.

14 Селютин В.Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: Дис. д-ра пед. наук. −М., 2002. С.161.

15Каблуков Н.А. Статистика: (Теория и методы статистики. Основные моменты в истории ее развития) 5-е изд.,стереотип. -М.: Центр.стат.упр., 1922. С.74.

16 Каблуков Н.А. Статистика: (Теория и методы статистики. Основные моменты в истории ее развития) М.: Центр.стат.упр., 1922. С.231.

17 Компетентностный подход в педагогическом образовании. / Под ред. В.А. Козырева, Н.Ф. Радионовой. – Сиб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. с.6.

18 Селютин В.Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: Дис. ... д-ра пед. наук. М., 2002. с.247.

19Египетский язык,язык древних египтян, обитателей долины Нила. Вместе с происходящим от него коптским входит в семито-хамитскую семью языков. Египетский язык (мёртвый язык с 5 в. н. э.)один из древнейших культурных языков мира. Первые письменные памятники Египетский язык относятся к рубежу 43-го тыс. до н. э., последниек 5 в. н. э. На протяжении 35 веков Египетский язык существенно изменялся. В его развитии различают следующие периоды: староегипетский язык (3022 вв. до н. э.); среднеегипетский язык (2216 вв. до н. э.); новоегипетский язык (168 вв. до н. э.); демотический язык (8 в. до н. э.5 в. н. э.). Около 3 в. н. э. начинает складываться коптский язык.

291