1. 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа

Определение 1. 4. 1. Если в группе А даны подмножества М и N, то под произведением М · N этих множеств мы будем понимать множество всех элементов группы А, равных произведению некоторого элемента из М на некоторый элемент из N, т.е. М · N = {а = т · п А | т М, n N}, М, N А.

Замечание. Множество всех подмножеств группы А – Р(А) относительно введённой операции умножения не является группой. Но если ограничиться только некоторыми подмножествами, в А, то при определённых условиях может получиться группа.

Определение 1. 4. 2. Пусть Н - подгруппа группы А и а А. Тогда произведение аН = {а} · Н = {ah | h Н} называется левым смежным классом (л. с. к.) группы А по подгруппе Н, порождённым элементом а.

Аналогично На = Н · {а} = {ha | h Н} называется правым смежным классом (п. с. к.).

Свойства смежных классов

1) аН = Н a Н. В частности, подгруппа Н сама является л.с.к. (п.с.к.) и Н · Н= Н.

2) Эквивалентны условия: а) аН = bН; б)b аН; в) а^-1 b Н.

3) Множество всех л.с.к. {аН | а А} образует разбиение группы А.

Поэтому л.с.к., отличные от Н, не являются подгруппами в А.

4) Любые два л.с.к. равномощны друг другу и равномощны Н. Аналогичные свойства верны и для п.с.к..

Доказательство. 1) Пусть аН= Н, тогда а = а · 1 аН = Н.

Пусть а Н. Ясно, что аН Н. Если h H, то h = aa^-1h aH, т.к. a^-1h Н, поэтому Н аН. Тем самым доказано, что аН =Н.

2)а) => б): b bН = аН.

б)=> в): Если b аН, то b = ah, где h H. Тогда a^-1b = h Н.

в)=> а): Пусть a^-1b Н. По свойству 1), a^-1bН = Н, откуда bН= аН.

3) U аН = А, т.к. любой элемент а А лежит в л.с.к. аН.

Кроме того, два л.с.к. или совпадают, или не пересекаются (т.е. не имеют ни одного общего элемента). Действительно, если аН и bН пересекаются и с аН bH, то в силу 2), аН = сН = bН.

4) Любой класс аН равномощен подгруппе Н: отображение : Н aН, заданное формулой (h) = ah ( h Н), осуществляет биективное соответствие между ними.

Примеры

1. Найдем все левые и правые смежные классы аддитивной группы <Z, +> целых чисел по подгруппе <3Z, +> целых чисел, кратных 3. Множества Z и 3Z можно записать в виде:

Z = {..., - 6, - 5, - 4, -3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...},

3 Z = {..., -9, - 6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, ...},

Найдем левые смежные классы для элементов а {0, 1, 2}. Получим

0+ 3 Z = {...,- 9, - 6,- 3, 0,3, 6, 9, 12,...} =3Z,

1+ 3 Z ={..., - 8, - 5, - 2, 1, 4, 7, 10, 13,...},

2+ 3Z ={..., - 7, - 4, - 1, 2, 5, 8, 11, ...}.

Для элемента а = 4 получим 4 + 3Z = 1 + 3Z и т. д. Следовательно, различных левых смежных классов будет всего три: 3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z. Все остальные смежные классы будут совпадать с одним из этих трех классов. Так как < Z, + > - коммутативная группа, то все левые смежные классы будут совпадать с соответствующими правыми классами.

2. Выясним, существуют ли группы и их подгруппы такие, у которых не все левые смежные классы будут совпадать с соответствующими правыми классами. Найдем левостороннее и правостороннее разложения

группы S₃ по подгруппе Н = {е, } и сравним их:

{е, } { , } { , }

{е, } { , } { , }

Видим, что множество левых смежных классов не совпадает с множеством правых смежных классов.

Теорема 1. 4. 1. (Лагранжа). Порядок любой подгруппы произвольной конечной группы делит порядок самой группы.

Доказательство. Действительно, пусть Н = {h₁, ..., h_n} - подгруппа конечной группы А и в каждом из различных л.с.к. по подгруппе H выбрано по одному элементу a ₁ = е, а₂, ... а_к. По свойству 3), мы получаем левостороннее разложение группы А на попарно непересекающиеся л.с.к.:

А = {h₁,... , h_n} {a₂h₁,…,a₂h_n} ... {a_kh₁ ..., a_kh _n},

каждый из которых содержит, по свойству 4), |Н| = п элементов. Итак, А является объединением к непересекающихся п - элементных подмножеств. Следовательно, |А| = п ∙ к и порядок Н делит порядок А.

Определение 1. 4. 3. Число к различных л.с.к. группы А по подгруппе Н называется индексом подгруппы Н в группе А и обозначается (А : Н).

Замечания. 1) Поскольку индекс единичной подгруппы {1} в группе А равен порядку А, то теорему Лагранжа можно сформулировать так:

(А ^: {1}) ⁼ (A: Н) ∙ (Н: {1}).

2) Все полученные результаты справедливы и для п.с.к..

Теорема 1. 4. 2. Для того, чтобы множество всех л.с.к. группы А по подгруппе Н было группой относительно умножения подмножеств, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнуто относительно этой операции.

Доказательство.

Необходимость очевидна.

Достаточность. Пусть множество {аН| а А} замкнуто относительно умножения. Тогда (аН) ∙ (bН) = (аb)Н, т.к. (аН) ∙ (bН) - л.с.к., содержащий аb. Ясно, что Н - единица и (аН) ∙ (а^-1Н) - Н, т.е. а^-1Н - обратный к аН.