Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Тобольская государственная социально-педагогическая академия

им. Д.И. Менделеева”

Кафедра математики, теории и методики обучения математике группы классов вычетов в теории чисел

Допустить к защите: Выпускная квалификационная

Зав. кафедрой _________ работа по математике студента

IV курса физико-математического

Научный руководитель _________ факультета (физико-математичес- кое образование)

Михайлова Валентина Николаевича

Научный руководитель к.п.н.,

доцент кафедры математики,

ТиМОМ Евсюкова Е. В.

Рецензент:

к.п.н., доцент кафедры

математики, ТиМОМ

Шаипова А.Я

Тобольск – 2012 Содержание

Введение………………………………………………………………………..……3

Глава I. Основные понятия теории групп

1.1. Бинарные операции, их свойства…………………………………………… 6

1.2. Группы и их свойства. Примеры …………………………………………… 11

1.3. Подгруппы и их свойства. Критерий подгруппы. Примеры……………… 15

1.4. Смежные классы. Теорема Лагранжа и ее следствия……………………….18

Глава II. Аддитивные и мультипликативные группы классов вычетов и их применение в теории чисел

2.1. Нормальная подгруппа. Фактор-группа. Примеры…………………………21

2.2. Прямое произведение групп………………………………………………….24

2.3. Применение теоретико-групповых методов в теории чисел……………… 30

2.4. Решение задач………………………………………………………..……..…37

Заключение………………………………………………………………………..39

Литература……………………………………………………………………….. 40

Введение

Теория групп является важным разделом современной алгебры. Изучая курс алгебры и теории чисел, каждый должен овладеть основными алгебраическими структурами, важнейшей из которых является группа.

Группы проникли во многие разделы математики и естествознания. К настоящему времени идеи теории групп плодотворно применяются не только во многих разделах математики, но и в других областях (в квантовой механике, химической физике, кристаллографии).

У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия. Математики, стоящие у истоков теории групп, — это Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Галуа был первым математиком, связавшим теорию групп с другой ветвью абстрактной алгебры — теорией полей.

Одной из первых задач, приведших к возникновению теории групп, была задача получения уравнения степени m, которое имело бы корнями m корней данного уравнения степени n (m < n).

Общую основу для теории уравнений, строящуюся на теории подстановок, в 1770—1771 гг. нашёл Лагранж, и на этой почве в дальнейшем выросла теория подстановок.

В середине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп, включающая десятки тысяч страниц статей.

Ощутимый вклад в теорию групп внесли и многие другие математики, такие как Артин, Эмми Нётер, Людвиг Силов и другие.

В теории чисел также находят применение свойства групп. Для доказательства многих важных фактов и теоретико-числовых теорем можно провести теоретико-групповые рассуждения.

Цель дипломной работы: изучить основные теоретико-групповые конструкции и доказать отдельные теоремы теории чисел с помощью теоретико-групповых методов.

Задачи дипломной работы:

• изложить первоначальные понятия теории групп;

• изучить доказательство теоремы Лагранжа и следствия из нее;

• изучить аддитивные и мультипликативные группы классы вычетов по модулю;

• привести примеры использования теоретико-групповых методов в теории чисел (доказать теоремы Эйлера и Ферма, Вильсона, теорему о мультипликативности функции Эйлера).

• проиллюстрировать конкретными примерами основные понятия и теоремы.

Методы исследования: используются теоретико-групповые и теоретико-числовые методы.

Структура дипломной работы. Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы (15 наименований).

Первая глава состоит из четырех параграфов, в которых излагаются первоначальные понятия теории групп (бинарная алгебраическая операция, группа, ее свойства, подгруппа, критерий подгруппы, смежные классы, разложения группы по подгруппе), рассмотрено доказательство теоремы Лагранжа и следствий из нее. Изложение всех рассмотренных понятий сопровождается примерами.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В них рассматриваются такие понятия как нормальная подгруппа, фактор-группа, прямое произведение групп. Во второй главе изученные теоретико-групповые методы используются для доказательства теоремы Эйлера, Ферма, Вильсона, теоремы о мультипликативности функции Эйлера.

Изучение теории групп в вузе обычно вызывает большие трудности. Вузовская программа не предусматривает рассмотрение различных приложений данной теории, которые на самом деле очень широки и плодотворны. Значение дипломной работы заключается в следующем: дано элементарное и ясное изложение основных теоретико-групповых понятий, сопровождаемое большим количеством специально подобранных примеров и показано, как теоретико-групповые методы можно применять в других областях математики, а именно – в теории чисел.

Полученные результаты могут быть использованы при изучении курса алгебры в ВУЗах и при проведении специальных курсов, а отдельные наиболее просто излагаемые вопросы, рассмотренные в первой главе, – для организации факультативных занятий в школе.