Глава I. Основные понятия теории групп

1.1. Бинарные операции, их свойства

В данном параграфе главной целью является изучение основ теории групп. Группа – это множество, на котором задана некоторая бинарная (зависящая от двух аргументов) алгебраическая операция, удовлетворяющая определенным условиям. Понятие бинарной алгебраической операции лежит, следовательно, в основе всего задания теории групп.

Каждому ученику средней школы, известно слово «операция» и, одним из первых его значений, приходящих в голову, являются понятия арифметических операций – сложения, умножения, вычитания или деления. Операции можно производить не только над числами, но и над другими объектами: дизъюнкции и конъюнкции высказываний, композиции преобразований и т.д.

Во всех названых примерах операций мы имеем дело с некоторым множеством А (множество чисел, высказываний, преобразований и т.д.). При выполнении операции по двум элементам этого множества находят третий элемент того же множества (по двум заданным числам находят их сумму, по двум заданным высказываниям их конъюнкцию и т.д.). При этом ответ, зависит от порядка этих элементов (например, при вычитании чисел).

Дадим определение бинарной алгебраической операции.

Определение 1. 1. 1. Пусть А – непустое множество, тогда всякое отображение φ: A × A → A называют бинарной алгебраической операцией, заданной на множестве А.

Другими словами, бинарной операцией на А является правило или закон, согласно которому каждой упорядоченной паре элементов a и b из А ставится в соответствие однозначно определенный элемент d из A (φ: (a, b) → d). Следуя арифметической традиции, результат применения бинарной операции φ к элементам a и b обозначают a φ b и называют композицией элементов a и b. В каждом конкретном случае композиция элементов получает свое название – сумма, произведение и т.п.

Определение 1.1.2. Множество А вместе с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группоидом и обозначается < A, *>.

Примеры: < R, +>, < R, *>, < R, - >.

Нетрудно заметить, что вычитание на множестве N не является бинарной операцией. Действительно, по определению бинарной алгебраической операции должно выполнятся условие: ( (а, b) N²) ( d N²) d = a – b. Составим отрицание: (а, b) N² ( d є N) d ≠ a – b. При a = 2, b = 3 отрицание истинно, значит исходно утверждение – ложное. Следовательно, можно утверждать, что вычитание не является бинарной операцией на множестве N и < N, - > не является группоидом.

Таблица Кэли

На конечных множествах, содержащих не слишком много элементов, бинарную алгебраическую операцию удобно задавать с помощью таблицы, которая называется таблицей Кэли (А. Кэли (1821-1895) английский алгебраист). Эта таблица для группоида < A, *>, A = {a₁, a₂, …, a_n} заполняется следующим образом:

*	a1	a 2	…	an
a 1	a1 *a1	a1 *a2	…	a1 *an
a 2	a2 *a1	a2 *a2	…	a2 *an
…	…	…	…	…
an	an *a1	an	…	an *an

Например, следующая таблица задает операцию * на множестве A = {a , b}:

*	a	b
a	b	a
b	b	b

Причем a * a = b* b= b* a= b и a* b= b. Поскольку результаты операции

принадлежат А, следовательно, < A, *> - группоид.

Свойства операций. Полугруппы

Известны свойства арифметических действий – переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения и умножения действительных чисел. Сформулируем эти свойства для произвольной бинарной алгебраической операции. Поскольку мы рассматриваем, в определении группоида, операции на определенном множестве, то, чтобы не вводить дополнительных определений, и группоидом будем называть в соответствии с названием свойства операции.

Определение 1. 1. 3. Группоид < A, *> называется коммутативным (а сама операция коммутативной), если для любых двух элементов из A выполняется условие: ( a, b А) а * b = b * а.

Определение 1. 1. 4. Группоид < А , *> называется ассоциативным или полугруппой (а сама операция ассоциативной), если выполняется условие:

( а, b, с А) а * (b * с) = (а* b) *с

Пусть < А, ۰> - полугруппа. Легко доказать следующие свойства.

1. (Обобщённый ассоциативный закон). Для любого конечного семейства элементов a₁, ...,a_к из А произведение a₁ ۰a₂ ۰...۰a_к не зависит от расстановки скобок, т. е. от последовательности умножений по два сомножителя.

2. Естественным образом вводится понятие степени с натуральным показателем: аⁿ = a ۰a ۰...۰a (n сомножителей а) для любых а А и n N, причём выполняются обычные свойства степеней:

a^k+n = a^k ۰ aⁿ и (a^k)ⁿ = a^kn (k, n N).

3. Если полугруппа коммутативна, то имеет место обобщённый коммутативный закон: произведение любого конечного числа элементов из А не зависит от порядка сомножителей.

Можно сформулировать аналогичные свойства для полугруппы < А, +>.

Моноид

Ещё из школы известны два правила: правило сложения любого числа с нулём и правило умножения любого числа на единицу. 0 и 1 - это нейтральные

элементы для операции сложения и умножения в R.

Определение 1. 1. 5. Элемент е А группоида < А, * > называется нейтральным элементом, если для любого элемента a A a* e= e* a= a.

Теорема 1. 1. 1. Каждый группоид < А, * > содержит не более одного нейтрального элемента.

Доказательство. Предположим, что в группоиде А существуют два различных нейтральных элемента e₁ и е₂. Дважды воспользовавшись определением нейтрального элемента, получим: e₁ = е₁ ۰ e_{2 =} е₂ .

Поэтому, если в группоиде существует нейтральный элемент, то он единственный.

Чтобы установить, имеет ли группоид нейтральный элемент, надо выяснить, является ли группоид коммутативным, если да, то достаточно проверить одно условие: ( е А) ( а А) а * е = а. Если же нет, то надо проверять два условия: а * е = а и е * а = а.

Пример. На множестве R операция * задана правилом: a * b = a + b – 1. Покажем, что < R, *> является группоидом, содержащим нейтральный элемент.

1. ( a, b R) ( ! (а + b - 1) R), следовательно, * - бинарная операция;

2. ( a, b R) a *b=a+b-1= b * а в силу коммутативности сложения в R;

3. Условие e R a R a* е = а + е - 1= a выполняется при е - 1 = 0, т.к. нейтральным элементом на R относительно сложения является 0. Таким образом, е = 1 является нейтральным элементом относительно операции *.

Определение 1. 1. 6. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.

Равенства а + (- а) = 0 и а ۰ 1 = а напоминают нам о таких понятиях, как

противоположный и обратный элементы соответственно относительно операций сложения и умножения. Эти термины есть конкретизация такого математического понятия, как симметричный элемент. Правомерны следующие вопросы: каждый ли элемент множества имеет симметричный относительно операции в группоиде? При каких условиях элемент множества имеет симметричный?

Понятие симметричного элемента

Определение 1. 1. 7. Пусть группоид < А, * > имеет нейтральный элемент е, тогда элемент a A называется симметризуемым, если для него существует а' А такой, что а* а' = а' * а = е. Сам элемент а' называется в этом случае симметричным для а.

Теорема 1. 2. Если в полугруппе < А, * > элемент а симметризуем, то симметричный для него элемент а' единственный.

Доказательство. Допустим, что для а А, существуют два симметричных элемента и и v. Тогда, учитывая, что дана полугруппа, получим:

и - и * е = u*(a*v) = (u* a)* v =e* v = v, т.е. и = v.

Исторически сложились и существуют два языка для выражения различных фактов, касающихся бинарных алгебраических операций: мультипликативный и аддитивный.

Формы записи бинарной операции

Произвольная	Аддитивная	Мультипликативная
* а * b называется композицией a' -симметричный элемент для а е нейтральный элемент	+ называется сложением а + b называется суммой -а -противоположный элемент для a 0 нулевой элемент (нуль)	۰ называется умножением а • b называется произведением а-1 - обратный элемент для а 1 единичный элемент (единица)

Далее в качестве основного языка выбран мультипликативный.