Вопрос 37

Определим стационарные состояния частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме прямоугольной формы, если масса частицы m и ширина ямы ℓ. В классической механике частица свободно движется с постоянной скоростью в области ямы 0 < x < ℓ, испытывая упругие «столкновения» со стенками ямы, когда знак ее скорости V_x меняется на противоположный. Кинетическая энергия частицы

м ожет принимать любые значения от 0 до ¥ (скорость света с считается бесконечной) и в процессе движения сохраняется постоянной.В квантовой механике для нахождения стационарных состояний частицы необходимо решить стационарное уравнение Шредингера

                                                                                        (1)

при граничных условиях

                                                                                                                                     (2)

поскольку частица с конечной энергией Е не может попасть в области х < 0 и х > ℓ, где потенциальная энергия частицы обращается в бесконечность.Решения стационарного уравнения Шредингера при заданных граничных условиях имеет вид

                                                                                                                                (3)

где

    .                                                            (4)

Таким образом, энергия стационарных состояний может принимать только дискретные значения (в этом случае говорят о дискретном энергетическом спектре)

                                                                                                                                     (5)

где n = 1 соответствует низшему энергетическому уровню с минимальной энергией

                   (6)                                                                                                                       

Это квантовый эффект, связанный с соотношением неопределенностей, поскольку в классической механике минимальная энергия частицы равна 0.Низшее энергетическое состояние отделено от первого возбужденного состояния энергетической щелью шириной

п оэтому частица может оставаться на низшем энергетическом уровне, если энергия ее взаимодействия с окружающей средой меньше DЕ. Дискретность энергетического спектра и существование минимальной энергии частицы, отличной от 0, являются проявлениями волнового характера движения частицы.Полная волновая функция стационарного состояния имеет вид

                                                                                                 (8)

где нормировочная постоянная с_n определяется условием

                                                                                                         (9)

О тсюда находим, что

 для всех n. Энергия частицы в потенциальной яме есть кинетическая энергия и определяется выражением (6).