МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(Технический университет)

Кафедра Прикладной математики

РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ

по курсу «Информатика»

Принял: Выполнил:

Вакулина М.В. Глаголев В.Б.

« 22» мая 2012 г. «22» мая 2012 г.

Москва 2012

1. Условие задачи с учетом заданного варианта задания.

Для каждого из пяти заданных вариантов допустимой ошибки заданным численным методом вычислить приближенное значение корня функционального уравнения вида f (x) = 0, если известно, что это уравнение имеет единственный корень на отрезке [a, b].

Таблица 1.Вариант расчетного задания

Номер варианта	Левая часть уравнения f (x)=0	Область, содержащая единственный корень	Вариант допустимой ошибки	Вариант численного метода
2		[0;0,85]	2	1

2. Описание заданного численного метода.

Метод простых итераций

Метод простых итераций предназначен для нахождения корня функционального уравнения вида:

x = ϕ (x). (15)

Уравнение вида f (x) = 0 всегда можно преобразовать к виду (15)

Действительно, умножим левую и правую части уравнения f (x) = 0 на некоторый коэффициент с. Полученное уравнение с*f (x) = 0 очевидно имеет те же корни, что и исходное уравнение f (x) = 0. Теперь, добавив х к левой и правой части, получим уравнение х+ с*f (x) = х, корни которого опять те же, что и у исходного уравнения f (x) = 0.Обозначив х + с*f (x) = ϕ (x), мы придем к уравнению (15). Коэффициент с следует выбирать так, чтобы во всех точках отрезка [a, b] соблюдалось неравенство:

│ ϕ’(x)│< 0,5. (16)

Следует заметить, что для тех вариантов расчетного задания, в которых предполагается применение метода простых итераций, в таблице вариантов задана f (x) такого вида, что переход к уравнению вида (15) элементарен (достаточно разрешить уравнение f (x) = 0 относительно x).

Метод простых итераций подобно методу Ньютона предполагает применение одного начального приближения. Перед первой итерацией значение начального приближения xn может быть получено, как и в методе Ньютона, по формуле xn = (a+b)/2.. Следующее приближение получают по правилу :

xs = ϕ ( xn). (17)

После вычисления приближения xs заменим значение начального приближения xn на значение только что полученного приближения xs и выполним следующую итерацию.

Можно доказать, что при выполнении условия (16) метод простых итераций сходится, а требуемая точность будет достигнута, если после вычисления xs при очередной итерации соблюдается условие (3). При выполнении неравенства (3) итерационный процесс уточнения приближенного значения корня следует прекратить и в качестве искомого приближенного значения корня xw взять последнее полученное значение xs . При разработке алгоритма вычисления корня по методу простых итераций следует использовать формулы (5), (17), (3).

3. Блок-схема алгоритма подзадачи вычисления корня

Да

tт

Рис. 2. Блок-схема алгоритма вычисления корня по методу Простых итераций

4. Код подпрограммы вычисления корня

Private Sub koren(ByVal pred As Integer, ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef xw As Single, ByRef it As Integer, ByRef Flag As Boolean)

Dim xn1 As Single, xs As Single

Dim fxn1 As Single, fxn2 As Single

Dim d As Single, Bool As Boolean

xn1 = (a + b) / 2

it = 0

fxn1 = f1(xn1)

fxn2 = f2(xn1)

Do

xs = f2(xn1)

it = it + 1

d = xs - xn1

xn1 = xs

Bool = Abs(d) < eps Or it >= pred

Loop Until Bool

If it <= pred Then

Flag = False

xw = xs

Else

Flag = True

End If

End Sub