Как определить ожидаемую доходность для всего портфеля

N

R_p = ∑x_iR_i

i=1

Где

x_i – доля средств инвестируемых в i актив.

R_i – доходность i-го актива.

N – число активов в портфеле.

Ожидаемая доходность определяется

N N N

R_p = E(∑x_iR_i) = ∑E(x_iR_i) = ∑x_iR_i

i=1 i=1 i=1

Д

N N N

δ_p² = ∑x_i²δ_i² + ∑ ∑x_ix_Jδ_iJ

i=1 i=1 j=1

i≠j

исперсия портфеля определяется

Определяется дисперсия портфеля, используя ковариацию между парами активов

N N N

δ_p² = ∑x_i²δ_i² + ∑ ∑x_ix_Jρ_iJδ_iδ_J

i=1 i=1 j=1

i≠j

Где

ρ («ро») – коэффициент корреляции.

ij – ковариация.

Вторая формула существует для того, чтобы показать корреляцию.

Дело в том, что структура портфеля сильнее влияет на возможность уменьшения его риска, если значение коэффициента корреляции близко к -1, то есть ρ_iJ ≈ -1.

Поскольку большинство ценных бумаг коррелиррует нужно стремиться к портфелю с ценными бумагами с максимальной корреляцией в обратную сторону. Если ρ_iJ ≈ -1, это значит, что если курсовая стоимость одной ценной бумаги падает, то курсовая стоимость другой ценной бумаги растет. Таким образом, снижаются риски.

Все это направлено на то, чтобы сформировать модель Марковица.

Сформулируем экстремальную задачу. Решив, ее мы получим оптимальный портфель. Модель Марковица. Задача определения оптимального портфеля

1) Первое уравнение модели

N N N

δ_p² = ∑x_i²δ_i² + ∑ ∑x_ix_Jδ_iJ

i=1 i=1 j=1

i≠j

2) Второе уравнение модели

N

R_p = ∑x_iR_i

i=1

Это означает что доходность фиксирована.

3

N

∑x_i = 1

i=1

)

x_i – доля средств инвестируемых в i актив.

4) x_i ≥ 0; i =1,N.

Это ограничение означает запрещение «коротких продаж». Теоретически x_i может быть отрицательной величиной, то есть, чтобы осуществить «короткую продажу» инвестор берет в долг ценную бумагу и продает ее. Через небольшой промежуток времени он выкупает ее обратно по новой цене и возвращает первоначальному владельцу. Если ценная бумага упала в цене, то от этой операции он выигрывает.

На основе этой модели формируется экстремальная задача с целевой функцией и рядом ограничений.

5 Предпосылок этой модели

1) Все инвестиционные решения принимаются только на один одинаковый период.

2) Рассматриваются только рисковые активы.

3) Для каждой ценной бумаги можно прогнозировать ожидаемую доходность, стандартное отклонение, а также ковариацию доходности любой пары ценных бумаг.

4) Привлекательность инвестиций в отдельные рисковые активы или портфели определяется на основе ожидаемой доходности и риска.

5) Не принимаются во внимание налоги и трансакционные издержки.

Лекция №7 за 05.04.06

Диверсификация риска

Портфель всегда подвержен риску меньше, чем любая отдельная ценная бумага. Почему так происходит объясняет следующий пример.

Пример для 2-х ценных бумаг и стандартное уравнение отклонения

Ковариационная матрица

	Ценная бумага №1	Ценная бумага №2
Ценная бумага №1	X12δ12 (Дисперсия Ценной бумаги №1)	X1X2δ12 (Ковариация между Ценной бумагой №1 и №2)
Ценная бумага №2	X1X2δ12 (Ковариация между Ценной бумагой №1 и №2)	X22δ22 (Дисперсия Ценной бумаги №2)

Дисперсия портфеля состоящего из 2-х ценных бумаг

δ_portfolio² = X₁²δ₁² + X₂²δ₂² + 2X₁X₂δ₁₂

Среднее стандартное отклонение между 2-мя ценными бумагами

δ₁₂ = X₁δ₁ + X₂δ₂

Стандартное отклонение портфеля

δ_p = (X₁²δ₁² + X₂²δ₂² + 2X₁X₂δ₁₂)^1/2

Пока коэффициент корреляции между 2-мя ценными бумагами остается меньше единицы стандартное отклонение портфеля состоящего из 2-х ценных бумаг будет меньше, чем средневзвешенное стандартное отклонение этих отдельных ценных бумаг.

Ковариационная матрица для N (множества) видов ценных бумаг в портфеле

№	1	2	3	…	N
1	X12δ12	X1X2δ12	X1X3δ13	…	X1XNδ1N
2	X2X1δ21	X22δ22	X2X3δ23	…	X2XNδ2N
3	X3X1δ31	X3X2δ32	X32δ32	…	X3XNδ3N
. . .	. . .	. . .	. . .	. … .	. . .
N	XNX1δN1	XNX2δN2	XNX3δ32	…	XN2δN2