- •Общая постановка задачи оптимизации.
- •Классическая задача на условный экстремум. Необходимые и достаточные условия условного экстремума.
- •Метод множителей Лагранжа для решения классической задачи на условный экстремум.
- •Линейные неравенства и область решений системы линейных неравенств.
- •5. Общая задача линейного программирования. Геометрическая интерпретация задачи.
- •Графический метод решения задачи линейного программирования для двух переменных.
- •Решение задачи линейного программирования симплекс–методом. Симплексные таблицы. Алгоритм симплекс–метода.
- •Решение задачи оптимизации выпуска продукции симплекс–методом.
- •Модель оптимизации плана перевозок (транспортная задача). Экономическая постановка задачи.
- •9.2 Основные свойство транспортной задачи
- •9.3 Двойственная задача
- •9.4 Теоремы двойственности
- •9.5 Построение опорного плана транспортной задачи
- •9.6 Метод севево-западного угла
- •Математическая модель транспортной задачи. Открытые и закрытые задачи. Допустимый, опорный и оптимальный планы перевозок.
- •11. Построение начального (опорного) плана перевозок по методу северо–западного угла и по методу наименьшей стоимости.
- •12. Теорема о потенциалах. Метод потенциалов. Транспортные таблицы. Понятие цикла. Сущность метода потенциалов.
- •13.Критерий оптимальности и неоптимальности опорного плана. Критерий единственности оптимального опорного плана.
- •14. Понятия испытания и случайного события. Частота и относительная частота появления события в серии испытаний. Вероятность случайного события.
- •15. Совместные и несовместные события. Полная группа событий. Событие, благоприятствующее данному. Равновозможные события. Совокупность элементарных исходов.
- •16.Классическое определение вероятности. Простейшие свойства вероятности.
- •17. Основные правила комбинаторики. Сочетания, перестановки, размещения.
- •18. Частота и относительная частота появления события в серии испытаний. Стохастическая устойчивость случайного события. Статистическое определение вероятности.
- •19. Вероятность противоположного события. Условная вероятность.
- •20. Сумма и произведение случайных событий. Теорема сложения вероятностей: для двух произвольных событий, для двух несовместных.
- •21. Теорема умножения вероятностей: для двух произвольных событий; для двух независимых событий; для нескольких событий, независимых в совокупности.
- •22. Формула полной вероятности.
- •23. Теорема Байеса.
- •24. Формула Бернулли
- •25. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Функции Гаусса и Лапласа.
- •26. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения и ее свойства.
- •1) Биномиальное распределение (дискретное)
- •2) Пуассоновское распределение (дискретное)
- •3) Показательное распределение (непрерывное)
- •4) Равномерное распределение (непрерывное)
- •5) Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное)
- •27. Дискретная случайная величина. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины.
- •28. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Их основные свойства.
- •29. Биномиальный закон распределения.
- •30. Распределение Пуассона. Простейший поток событий.
- •Ц.П.Т. Ляпунова
- •Слабый закон больших чисел
- •Усиленный закон больших чисел
- •Значение теоремы Чебышева для практики.
- •51. Понятие критерия. Критическая область и область принятия гипотезы. Односторонняя и двусторонняя критическая область, критические точки. Мощность критерия.
- •56. Коэффициенты регрессии. Линии регрессии.
- •59. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии.
Модель оптимизации плана перевозок (транспортная задача). Экономическая постановка задачи.
Постановка задачи
Классическая транспортная задача ЛП формулируется следующим образом.
Имеется m пунктов производства (поставщиков) и n пунктов
потребления (потребителей) однородного продукта. Заданы величины:
- объем производства (запас) i-го поставщика, i=1, m ;
- объем потребления (спрос) j-го потребителя, i=1, n ;
- стоимость перевозки (транспортные затраты) единицы продукта от i-го поставщика к j-му потребителю.
Требуется составить такой план перевозок, при котором спрос
всех потребителей был бы выполнен и при этом общая стоимость всех
перевозок была бы минимальна.
Математическая модель транспортной задачи имеет вид
Транспортная задача, в которой суммарные запасы
и суммарные потребности
совпадают, называется закрытой моделью; в противном случае -открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой.
В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные
потребности, т.е.
вводится фиктивный n+1 потребитель, потребности которого
В случае, когда суммарные потребности превышают суммарные
запасы, т.е.
, вводится фиктивный m+1 поставщик, запасы которого
Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика
полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.
Прежде чем решать транспортную задачу, необходимо проверить, к какой модели она принадлежит, и если необходимо, то привести ее к
закрытой модели.
9.2 Основные свойство транспортной задачи
Математические модели любых транспортных задач ЛП обладают общими чертами, а именно,
1) коэффициенты целевой функции неотрицательны (стоимости перевозок не могут быть отрицательными величинами);
2) коэффициенты правых частей ограничений неотрицательны (запасы и потребности продукта);
3) коэффициенты в ограничениях принимают только два значения, это нули и единицы.
В силу этих особенностей транспортная задача обладает следующими свойствами.
Теорема 1.
Базисное решение закрытой модели транспортной задачи содержит m+n-1 базисных компонент.
Доказательство.
Количество базисных компонент определяется число линейно независимых ограничений задачи. В транспортной задаче не все m+n ограничений линейно-независимы.
Действительно, сложив первые m ограничений и следующие n ограничений задачи, получим
Но в закрытой модели выполняется балансовое равенство
поэтому получаем, что нетривиальная линейная комбинация строк ограничений (линейная комбинация с ненулевыми коэффициентами) равна нулю. Это означает, что среди ограничений задачи есть линейно-зависимое ограничение. Следовательно, число линейно-независимых ограничений равно m+n-1 и базис задачи состоит из m+n-1 компонент.
Теорема доказана
В силу специфики содержательной постановки транспортной задачи допустимое решение называется планом, базисное допустимое решение называетсяопорным планом, оптимальное решение называется оптимальным планом.
Теорема 2.
Оптимальный план закрытой модели транспортной задачи существует всегда.
Доказательство.
Оптимальное решение задачи ЛП существует, если, во-первых, существует допустимое решение и, во-вторых, целевая функция ограничена на этом допустимом решении.
Покажем существование допустимого решения. Так как
суммарные запасы
совпадают с суммарными потребностями
то всегда можно найти такой план перевозок, который будет допустимым решением (все запасы вывозятся и все потребности выполняются в силу балансового равенства).
Покажем ограниченность целевой функции.
Так как
следовательно L ограничена снизу нулем для всех допустимых решений.
Теорема доказана