16.Классическое определение вероятности. Простейшие свойства вероятности.

Классической вероятностью события А называют отношение числа случаев благоприпятствующих событию А к числу всех возможных исходов. Вероятность всегда обозначаются буквой: P(A)=m/n

а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта; равна 1

б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может; равна 0

в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти. лежит на интервале P(A)э [0;1]

17. Основные правила комбинаторики. Сочетания, перестановки, размещения.

Правило суммы. Если некоторые объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В можно выбрать n способами. То выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если некоторые объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указном порядке может быть выбрана m ? n способами.

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используются формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

1.Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающимися только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Pn = n!, где n! = 1?2?3 ? n, 0! = 1.

2.Размешениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. An m =n!/(n-m)!

3.Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хоты бы одним элементом. Cnm = n!/(m!(n-m)!).

18. Частота и относительная частота появления события в серии испытаний. Стохастическая устойчивость случайного события. Статистическое определение вероятности.

Статистическая вероятность называется число вокруг которого группируются частости этого события. Частостью называтеся частота появляется А в конкретных испытаниях.

19. Вероятность противоположного события. Условная вероятность.

Противоположными событиями называются два не совместных события, образующие полную группу. (пример - монетка имеющая орел и орешко)

Если два события A и B совместны, то вероятность совместного появления двух событий вычисляется по формуле:

Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B)

Условие зависимости события А от события В: P(A|B) P(A), P(B|A) P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно).

Условной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

20. Сумма и произведение случайных событий. Теорема сложения вероятностей: для двух произвольных событий, для двух несовместных.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

Сумма событий А и В обозначается : А+В.

Сумма событий и произведение событий.

А,В,….,G - события

Суммой событий называется некоторое событие S=A+B+….+G=A B …. G, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример: Допустим идет стрельба по мишени

А1 - попадание при первом выстреле

А2 - попадание при втором выстреле

S=A1+A2 (хотя бы одно попадание)

Произведением некоторых событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. S=ABC…G=

Пример: А1 - промах при первом выстреле

А2 - промах при втором выстреле

А3 - промах при третьем выстреле

(не одного попадания)

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A) P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)

S=S1+S2+…+Sn

P(S)=P(S1)+P(S2)+…+P(Sn)

Следствие: Если событие S1, S2, …, Sn образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в их совместном наступлении в результате испытания.

Обозначение произведения событий : АВ

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место:

P(AB)=P(A)P(B|A), P(AB)=P(B)P(A|B)

Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)

Пример: на монете выпадет орел 2 раза

S=AорAор S=P2(A)=(1/2)2=1/4