27. Дискретная случайная величина. Способы задания закона распределения дискретной случайной величины.

Говорят, что задана дискретная случайная величина   , если указано конечное или счетное множество чисел

и каждому из этих чисел   поставлено в соответствие некоторое положительное число   , причем

Числа   называются возможными значениями случайной величины   , а числа  - вероятностями этих значений (   ).

Таблица

называется законом распределения дискретной случайной величины   .

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки   и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины   .

Если возможными значениями дискретной случайной величины   являются 0, 1, 2, …, n, а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

то говорят, что случайная величина   имеет биномиальный закон распределения:

Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем   Если возможными значениями дискретной случайной величины   являются 0,1,2,…, m, а соответствующие им вероятности выражаются по формуле

то говорят, что случайная величина   имеет гипергеометрический закон распределения.

Другими часто встречающимися примерами законов распределения дискретной случайной величины являются:

геометрический

где   ;

Закон распределения Пуассона:

где

 - положительное постоянное.

Закон распределения Пуассона является предельным для биномиального при   ,  ,   . Виду этого обстоятельства при больших n и малых p биномиальные вероятности вычисляются приближенно по формуле Пуассона:

где   . 

28. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Их основные свойства.

Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл.

Свойства математического ожидания:

1. [ ] =  , где   - const;

2. [ ] =  [ ];

3. [X   Y] =  [ ]  [ ];

4. [X Y] =  [ ]  [ ], где   и   - независимые

Дисперсия - среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n - частота (повторяемость фактора Х)

Среднее квадратичное отклонение определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической, т.е. корень из дисперсии и может быть найдена так:

1. Для первичного ряда:

2. Для вариационного ряда:

Преобразование формулы среднего квадратичного отклонени приводит ее к виду, более удобному для практических расчетов:

Среднее квадратичное отклонение определяет на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, и к тому же является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, и поэтому хорошо интерпретируется.