23. Теорема Байеса.

Теорема Байеса — позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны.

Формула Байеса:

,

где

 — априорная вероятность (насколько вероятна причина вообще) гипотезы A

 — вероятность гипотезы A при наступлении события B 

 — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A

 — полная вероятность наступления события B.

Следствие

Формула Байеса является важным следствием из формулы полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез (и только от них!).

 — вероятность наступления события B, зависящего от ряда гипотез  , если известны степени достоверности этих гипотез (например, измерены экспериментально);

24. Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. 

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна:

P_n(k)=C_n^kp^kq^n-k

или

где q=1-p

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, — находят соответственно по формулам:

 

P_n(0)+P_n(1)+...+P_n(k-1);

P_n(k+1)+P_n(k+2)+...+P_n(n);

P_n(k)+P_n(k+1)+...+P_n(n);

P_n(0)+P_n(1)+...+P_n(k);

25. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Функции Гаусса и Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Для определения значений φ(x) можно воспользоваться специальной таблицей.

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

P(k₁;k₂)=Φ(x'') - Φ(x')

Здесь

-функция Лапласа

Значения функции Лапласа находят по специальной таблице.

Функции Гаусса и Лапласа - одно из названий нормального распределения

 П. Лаплас, кроме того, получил интеграл (функцию Лапласа)

Как приближенное значение (при больших га) вероятности того, что число успехов в испытаниях Бернулли с вероятностью успеха будет заключено в пределах   и   (так наз. предельная формула Лапласа). Однако соотношение, где нормальное распределение появляется как предельная форма биномиального с   было найдено еще А. Муавром.

26. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины. Функция распределения и ее свойства.

Случайная величина  - числовая переменная величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определёнными вероятностями. Число попаданий в цель при данном числе выстрелов, скорость молекулы газа являются типичными примерами случайных величин.