6.3. Вычисление координат пунктов съемочных сетей

 

Перед вычислением координат пунктов съемочных сетей проверяются записи и вычисления в журналах угловых и линейных измерений, а также соответствие выполненных измерений установленным допускам. В измеренную длину линии вводят поправки за компарирование и температуру в том случае, если они в сумме превышают 1:5000 длины измеренной линии.

Угловые невязки ходов съемных сетей не должны превышать величин, определяемых по формулам п. 5.5.2.

 

6.4. Определение высот пунктов съемочной сети

 

Высоты пунктов съемочной сети определяются техническим или тригонометрическим нивелированием. Тригонометрическое нивелирование выполняется, как правило, одновременно с проложением теодолитовых ходов.

Допускаемая высотная невязка тригонометрического нивелирования не должна превышать 120 , мм, где L - длина хода, км. Невязка ходов технического нивелирования не должна превышать 50 , мм, где L - длина хода, км.

Вопрос 6

2.1. Условные уравнения

Пусть измерено n величин у₁, у₂, ..., у_n с весами р₁, р₂, ..., р_n.

Обозначим t - число необходимых измерений;

r = n - t (1)

- число избыточных измерений.

Истинные значения измеренных величин Y_i связаны между собой уравнениями:

Ф_j(Y₁, Y₂, ..., Y_n) = 0, (j = 1, 2, ..., r). (2)

Уравнения, выражающие математическую связь между истинными значениями измеренных величин, называются условными уравнениями связи. В систему включают только независимые уравнения в количестве r = n - t, (r < n). Если число уравнений будет больше r, появятся зависимые уравнения и задача уравнивания станет неопределенной. Если число уравнений окажется меньше r, после уравнивания останутся невязки.

Подстановка в уравнения (2) результатов измерений приводит к системе:

Ф_j(y₁, y₂, ..., y_n) = w_j, (j = 1, 2, ..., r), (3)

в которой невязки w_j являются истинными ошибками соответствующих функций Ф_j.

Для устранения невязок отыскивают поправки v_i к результатам измерений из решения системы

Ф_j(y₁ + ν₁, y₂ + ν₂, ..., y_n + ν_n) = 0, (j = 1, 2, ..., r) (4)

под условием МНК

[pv²] = min. (5)

Условные уравнения (4) могут иметь нелинейный вид. Способов решения систем нелинейных уравнений произвольного вида не существует. Чтобы решить задачу, функции (4) приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора. Полагая, что ν_i << y_i, рассматривают поправки ν_i, как приращения аргументов y_i. Функции Ф_j должны быть дифференцируемы.

Ф_j(y₁ + ν₁, y₂ + ν₂, ..., y_n + ν_n) = Ф_j(y₁, y₂, ..., y_n) +

Нелинейными членами разложения (остатком R) пренебрегают.

Обозначают:

Ф_j(y₁, y₂, ..., y_n) = w_j

- невязки - свободные члены условных уравнений поправок;

- коэффициенты условных уравнений поправок - частные производные от функций Ф_j, вычисляемые по результатам измерений.

(6)

- система условных уравнений поправок или в матричном виде:

А_rnV_n1 + W_r1 = 0. (7)

Здесь - матрица коэффициентов;

- вектор поправок к результатам измерений;

- вектор невязок.

Систему (7) условных уравнений поправок решают под условием (5) МНК

- матрица весов результатов измерений.

Используют метод Лагранжа с неопределенными множителями, называемыми в геодезии коррелатами.

- вектор коррелат.

Решение приводит к образованию системы нормальных уравнений коррелат

(10)

- матрица коэффициентов нормальных уравнений. Коэффициенты, стоящие на главной диагонали, называются квадратичными. Они всегда положительны. Остальные коэффициенты неквадратичные.

π_i = 1/p_i - обратный вес результата измерения.

(11)

- нормальные уравнения коррелат.

Из решения нормальных уравнений находят коррелаты к₁, к₂, ..., к_r, а затем поправки к результатам измерений по формуле:

(12)

После этого вычисляют уравненные значения результатов измерений

(13)

и делают контроль уравнивания подстановкой уравненных измерений в условные уравнения связи, невязок не должно быть:

(14)

Если измерения равноточные, вес измерения равен единице, p_i = π_i = 1, матрицы весов и обратных весов единичные P_nn = П_nn = E.