11(1). Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа.

Пусть f(x):(а,b)→R и . Зададим приращение Δх так, чтобы . Велич. наз. приращением ф-ции f в т. , соответствующим приращ-ю ар­г-та Δх.

Опр.1 Если приращение ф-ции в т. может быть записано в виде (1)

где А( ) - число, не зависящее от Δх, а при Δх→0, то ф-ция f наз. дифф-мой в точке , число А( ) -производной ф-ции f в этой т. (обознач.- ), а велич. - дифференциалом ф-ции f в точке (обознач.-df(x₀)).

Теорема Ферма. Если ф-я y=f(x) задана и непрерывна на промежутке <a,b>, во внутренней точке α (a,b) принимает наибол. или наим. на <a,b> значение и в этой точке сущ-ет производная, то .

Теорема Ролля Если ф-я f задана и непр-на на [a,b] и дифф-ма на (a,b) и f(a)=f(b),то найдётся точка ξ из (a,b), такая что

⌂ По теореме Вейершт. (ф-я, непрерывная на отрезке, достигает на нём наибольшего и наименьшего значения) ф-я f имеет наим. и наиб. значения m и M на [a,b].

Возможны 2 случая: m=M или m<M.

1. Если m=M, то f(x) =const=m, так как для любого x m≤f(x) ≤M. Производная постоянной ф-ии равна нулю, т.е.в каждой точке интервала (a,b)

2. При m<M можно утверждать, что одно из экстремальных значений ф-ии f достигается внутри отрезка, так как f(a)=f(b). В этой точке ξ по теореме Ферма ⌂

Теорема Коши Пусть на отрезке [a,b] заданы непрерывные ф-ии f и g, дифф-ые на (a,b) и g(x)≠0 на (a,b). Тогда найдётся такая точка ξ (a,b), что (3)

⌂ Заметим, что левая часть ф-лы (3) определена, т.к. знаменатель отличен от нуля: если бы g(b)=g(a), то по T Роля на [a,b] нашлась бы точка ξ из (a,b), в кот. , чего нет по усл.

Рассм. Вспомогат. ф-ю

Эта ф-я удовл-ет всем условиям теоремы Ролля на [a,b] : она непрерывна как комбинация непр. ф-й, на концах отрезка обращается в нуль и

, x из (a,b)

По теореме Ролля найдётся точка ξ из (a,b), в которой

Отсюда и следует ф-ла (3).⌂

Теорема Лагранжа Пусть на отрезке [a,b] задана непр-я ф-я f, дифф-ая на (a,b). Тогда найдётся такая точка ξ из (a,b), что f(b)-f(a)= (b-a). (4)

⌂ Применим теорему Коши для g(x)=x. ⌂

ф-ла (4) ещё наз-ся ф-лой Лагранжа конечных приращений.

Опр. Точка x₀ из (a,b) наз. т. локального максимума (минимума) ф-ии f(x): (a,b)→R, если только существует такая окрестность точки x₀ , для любого x из которой выполняется неравенство f(x)≤ (≥) f(x₀).

Опр. Экстремум ф-ции f это точка x₀ из области определения f, в кот. f(x₀) явл. наибольшим или наименьшим значением ф-ции.

Необходимый признак экстремума. Если ф-я f(x) задана и непрерывна на интервале (a,b) и имеет в точке x₀ из (a,b) экстремум, то эта точка явл-ся критической (т.е. производная в ней =0 или не существует)

1 достаточный признак экстремума. Пусть ф-я f(x) задана и непрерывна на интервале (a,b) и x₀ из (a,b)-критическая. Пусть f дифф-ма во всех точках интервала (a,b), кроме, может быть x₀. Если для некоторого δ>0 на (x₀-δ; x₀) из (a,b) , а на (x₀; x₀+δ) из (a,b) , то в точке x₀ функция имеет максимум. Если при переходе через точку x₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке ф-я имеет минимум.

⌂ Рассмотрим смену знака с + на - . Так как при x из (x₀-δ; x₀) из (a,b) , то ф-я возрастает на этом интервале. Так как при x из (x₀; x₀+δ) из (a,b) , то ф-я убывает. Это означает, что в точке x₀ имеется максимум.⌂

2 достаточным признак экстремума. Пусть f задана и дифф-ма в (x₀-δ; x₀+δ) и . Допустим, что существует . Если <0, то в точке x₀ максимум, если , то в точке x₀ минимум.