16Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал

На практике часто оказывается необходимым знать вероятность того что случайная величина х будет заключатся в некотором пределе. Искомая вероятность для дискретной случайной величины будет определяться по формуле Р(a<=x<=b)=F(b)-F(a) Для не прерывной случайной величины формула применяется следующего вида Р(a<x<b)=F(b)-F(a) Эта вероятность численно равна заштрихованной площади. Выразим функцию распределения F(x) через плотность ню(х).Функция распределения определяется следующим выражением F(x)=P(X<x)

17Численные характеристики случайной величины. Математическое ожидание. Закон распределения характерен плотностью случайной величины с вероятностью точки зрения, однако при решении ряда задач достаточно бывает узнать только отдельные числовые параметры, характеризующие основные черты распределения. Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины. Математическое ожидание –дискретной случайной величины называется сумма произведения всех ее возможных значений на их вероятность. Математическое ожидание непрерывно случайной величины определения по формуле. (х)-функция плотности распределения величины х.

В теореме вероятности для характерной основной свойств распределения часто применяется моменты. Начальным момент которого порядка случайной х называется математическое ожидание которой степени случайной величины. Для дискретной случайно величины начальный момент которого порядка вычисляется по формуле . Для непрерывной величины . Выводим понятие центра случайной величины . Центральный моментом порядка к случайной величины х называется математическим ожиданием которой степени величины

Центральные моменты дискретный случайной величины вычисляется по формуле

Особые значения имеет центральный момент второго порядка называется дисперсией. Дисперсия характерная степень разброса значений случайной величины относительно математического ожидания так называемого центра распределения . Дисперсия имеет размерный квадрат случайной величины для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться среднеквадратическим отклонением, положительной величиной корня квадратного из дисперсии.

Нормальный закон распределения почти все случайные величины с которыми имеем дело в геодезии подчиняются нормальному закону распределения вероятности с плотностью вероятности. –основные параметры нормального закона. Кривая распределения по нормальному закону имеет холмообразный вид. Понятие о центральном предельной теореме. Теоремы устанавливают условие при которых возникает нормальный закон известный в теории вероятности под названием центральный предельный теоремы или теорема Ляпунова, которая имеет важное значение для теоремы ошибок измерения. Можно полагать что ошибки измерений складываются из большого числа элементов ошибок каждая из которых вызвана действием отдельной причины независящей от остальных и влияние элементарных ошибок на результаты измерений мало по сравнению с влиянием суммарной ошибки дельта. На основании случайно величины стремится к нормальному распределению.

Функция нормального распределения. Случайно величины х определяется согласно следующему выражению если от случайной величины х перейти к ее нормированному значению для которого то в этом случае плотность нормированного нормального случайной величины принимает вид

А функция распределения будет определятся формулой заштрихованная площадь под кривой численно равна F(t) вероятность попадания случайной величины Р(a<x<b)=F(b)-F(a) определяется по формуле: переходя к нормированному значению получим следующее выражение.

Интеграл вероятности. Более удобный для табулирования является функция Ф(t)называется интеграл вероятности численное значение функции Ф(t)равна заштрихованной площади. Ф(t)нечетная т.е. Ф(-t) = -Ф(t) Согласно второму свойству плотности вся площадь от кривой распределения равна единицы. Заштрихованная на пределе рис S численно равна F(t) и она может быть разбита на 2 части.(-бес;0)(0;t). На основании выше изложенного получим формулу связей функции распределения и интеграла вероятности.

`19Основные задачи науки и ее понятие. Математическая статистика- это раздел математики изучающий методы сбора ,систематизации и обработки результатов наблюдения с целью выявления статистической закономерности. Математическая статистика опирается на теоремы вероятности. Если теорема вероятности изучает законы распределения случайной величины строит теорему вероятности модели явлений, то математическая статистика оперирует результатами наблюдений над случайными величинами. Используя математический аппарат математическая статистика позволяет находить вероятнейшее наилучшее значение переменных величин, а так же их функции оценит точность измерений основывающихся на законах распределения больших чисел и предельных теоремах. Ученые пришли к выводу что при большом числе наблюдений случайные проявления измерений величин сглаживается и получается результат оказывается не случайным и предсказуемым. Статистически методы широко используются при прогнозировании случайного явления имея целью ограничить область действий случайных факторов. Все выше сказанное имеет прямое отношение к обработки результатов наблюдения и моделирования геодезических построений. Параметры и коррелатные способы уравнивания основаны на методе наименования квадратов. Они улучшают результаты наблюдения, ограничения действий случайных факторов, а так же исключительные влияния статистической факторов на конечный результат измерений в геодезических сетях. Выполнив корреляционный и регрисионный анализ результатов геодезических измерений вычисляют коэффициент корреляции, коэффициент регрессии и составление уравнения регрессии. Исполнения это уравнение вычисляется характеристика точности геодезических сетей по их моделям не прибегая при этом к дорогостоящим полевым измерениям.

19Основные задачи математической статистики. 1определение закона распределения случайной величины, задача сглаживания или выравнивания статистического ряда. Задача поверки правдоподобия гипотез, тесно связанных с 1 заданием. Она позволяет ответить на вопрос, согласуются ли результаты опытов с гипотезой. 3 задача об определении доброкачественной оценки не известных параметров. Задача оценки точности этих оценок. Результаты наблюдения х1…хn..над случайными величинами х называются выборкой из генеральной совокупности, т.е. из всех значений величин х. при большом числе наблюдений выборку оформляют в виде статистической группировки ряда, при этом весь диапазон значений х делится на интервалы, подсчитать полное значение х приходящего на каждый интервал к затем вычислить частоты затем составить таблицу, статистического ряда распределения. Практика показывает что число разрядов, порядка 10-20. статистический ряд графического оформления в виде гистограммы. Для этого по оси абсцисс откладывается интервалы на которых строят прямоугольные площади, которых равняют Q, высота прямоугольника аналогично функции распределения F(x) в математической статистике служит статистическая функция распределения .

21Элементы корреляционного анализа. Понятие о статистической связях. Существует 2 формы зависимости функциональной и статистической . 1 функциональная зависимость между 2мя величинами х и у называет такую зависимость при которой каждому значению у, которое можно точно указать. 2 статистика зависит между величиной х и у называю такую зависимость при которой каждое значение х соответствует распределению значений у, изменяющих вместе с значением х. Частным случаем статистической связи является прямоугольная корреляционная зависимость при которой с изменением х изменяется математическое ожидание у по линейному закону. Коэффициент корреляции . теснота линейной корреляции связь между двумя величинами х и у характеризуется коэффициент корреляции, оценка которого определяется по формуле. Статистический корреляционный момент.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1. В случае когда коэффициент корреляции меньше 0, имеет место отрицательной корреляции . В случае когда > 0 говорят о положительной корреляции. Если =0 то между х и у прямолинейная корреляционная связь отсутствует. Однако не линейная связь может существовать. Для оценки надежности коэффициент корреляции при большом числе измерений (>50)применяется критерий Романского. В данном случае связь считается установлений если выполняется условие..