Теория вероятности-математическая наука изучающая количественные закономерности массовых случайных явлений.

Случайные явлением подразумевают явление при неоднократном воспроизведении которого результат протекает каждый раз несколько по иному. Всякое осуществленное определяется условий и действий при которых наблюдается изучаемое явление называется опытом. Любая качественная характеристика опыта называется событие. Количественная характеристика опыта называется случайной величиной.

1При выполнении определенного комплекса условий размеры события достоверные невозможные и случайные. Достоверные события являются то событие которое обязательно произойдет. Невозможным событием является которое никогда не произойдет. Случайным событием это событие при котором выполнение осуществляется комплексом условий которой может произойти и не произойти. Виды случайных величин: 1 совместные события- это события которое при испытании могут происходить одновременно. 2 несовместимые события- события которое не могут произойти вместе. 3 равновозможные- события которое имеют одинаковую объективную возможность. Полная группа событий образуется таким событием одно из которых обязательно произойдет при выполнении определенного комплекса условий. События выпадающих граней 1.2.3.4.5.6. образуют полную группу т.к.в результате события одно из них обязательно произойдет. Противоположенные события два несовместимых между собой события образуют группу. Не завершенные события это события имеющие возможность появляться независимо от того появляется или не появляется другое событие. Зависимые события у которых возможность появления зависит от того произойдет или не произойдет другое событие. С каждым событием связано определенное число называется вероятностью. Вероятность- число мера степени объективной возможности событий. Если достоверному событию приписать вероятность равную 1, а не возможному событию вероятность равную 0, то диапазон изменения вероятности любых событий будет определен выражением 0=<P(A)=<1

2Непосредственный подсчет вероятности.

Существуют события вероятность которых можно определить из условий самого опыта не производя его, для этого необходимо чтобы элемент события составлял полную группу события были несовместимы и равновозможными. Для таких событий возможен непосредственный подсчет вероятности, основан на оценки доли благоприятных случаев. Вероятность события вычисляется по формуле – формула непосредственного подсчета вероятности P(A)=m/n n-общее число случаев, m- число благоприятных случаев для появления события А.

3Относительная частота и теорема Бернулли. Существуют события попадания в цель при выстреле или выход из строя лампы в течение 1 часа, вероятность которых не может быть вычислена по формуле 0=<P(A)=<1. Для таких событий используется другой способ определения вероятности- экспериментальные. Относительная частота события отношения числа появления этого события к числу всех производительных опытов Q=m/n. При неограниченном увеличение числа опытов с вероятностью сколько угодно близкой к единице можно ожидать что относительная частота события приближается к вероятности появления в отдельном испытании. Математическая форма этой закономерности впервые дал ученый Якобы Бернулли. Эта теория представляет собой простейшую форму закона больших чисел и может быть записана в виде вероятности Р-отдельное испытание, Q – частота. Относительная частота называется статистической вероятностью события.

4Сумма событий, теорема сложения вероятности для несовместимых событий. На практике обычно требуется определение вероятности событий непосредственно воспроизведения которых невозможно. В этом случае применяют методы позволяющие по известным вероятностям одних событий определять вероятность других более сложных событий с ними связанных. При решение таких задач используют основные теоремы теории вероятности. Сумма двух или нескольких событий называется сложное событие составленное в появлении хотя бы 1го из этих событий. В=А1+А2..+Аn Теорема: вероятность суммы 2х или нескольких несовместимых событий равна вероятности этих событий. Следствие 1 если события А1..А2.. Аn образуют полную группу событий то сумма их вероятности равна 1. Следствие 2 сумма вероятности противоположенных событий равна 1.

11Произведение событий теория умножения. Произведение событий 2х или нескольких называется сложное событие состоящее в совместном появлении этих событий. С- сложное событие. С=А1*А2* Аn теорема1 вероятность 2х произведений или нескольких независимых событий равно произведению этих событий. Вероятность независимых событий называется безусловной. Зависимые события имеют условие вероятности. Условной вероятностью называют вероятность вычисления в предположении что одно или несколько событий уже произошло. Р(А2/А1)- условие событий что событие А2 произошло в предположении. Что произошло событие А1. Условие вероятности Аn Р(Аn/А1*А2* Аn) теорема 2. вероятность произведения 2х или нескольких зависимых событий равна произведению безусловной вероятности одного из этих событий на условии вероятности другого. Р(С)=Р(А1)*Р(А2/А1)*Р(Аn/А1*А2*Аn-1)

12Многократные испытания формулы Бернулли Если необходимо определить вероятность того что при n независимых многократных испытаний событие А повторяется к раз. Рn(К)-искомая вероятность, р-вероятность появления события А, q- вероятность не появления события А. С-число сочетаний составленных из n и к. Есть вероятность того что событие А появиться 0 раз или ровно 1 раз или ровно n раз. Вероятность числом появления событий при n многократных испытаний называется числом К0, соответствующее наибольшему при данных условиях вероятности . В обычном это наиболее возможная число появления событий А, где n*h-q=<K0=<n*p+p. Следует заметить, что левая и правая часть неравенства отличается на единицу. Если р выражается числом не близким к 0, то при n больше вероятнейшее число нахождения по формуле К=р* n

13Виды случайных величин. Случайными величинами могут быть дискретными, т.е.прерывными и не прерывными. Дискретной называют такую случайную величину возможного события которых возможно заранее указать. Непрерывные называют такие случайные величины возможность которых непрерывно заполняют некоторые промежуток и не могут быть перечислены заранее. Всякое соотношение устанавливать связь между возможным значением случайной величины и соответствуют им вероятность называют законом распределение вероятности.

14Форма задания закона распределения дискретных, случайных величин. 1 таблица ряд распределения. Простейшая форма задания распределения. Х- возможные значения случайной величины. Р-соответствие или вероятность. 2 при графическом изображении ряда распределения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс отключается все возможные значения случайной величины, а по оси ординат соответствие им вероятность. Затем наносят координаты х и Р. Точки с известными координатами соединяют прямыми линиями. Получившуюся фигуру называют многоугольным распределением, которое также является формой задания закона распределения прерывными случайными величинами. 3 функция распределения называется вероятность того что случайная величина х примет значения меньше некоторого заданной х. функция распределения дискретной случайной величины имеет скачки в тех точках в которых случайна величина х принимает конкретные значения указанные в таблице или так называемом ряде распределения.

15Формы задания закона распределения для непрерывной случайно величины: 1 функция распределения. График функции распределения непрерывной случайной величины имеет форму плавной кривой. 2 следующая форма плотность. Плотность распределения определяется как произведение от функции произведения Кривая изображает плотность распределения случайной величины называется кривой распределения и ограничена кривой распределения, а также осью абсцисс которая будет равна 1.