2.6.2. Надійні інтервали для коефіціентів регресії

Інтервальна оцінка параметра βi з рівнем довіри 1 – α знаходиться за наступною формулою:

(();()bbtbbtiiii ) −⋅+⋅SESEкркр. (2.23)

де значення tкр знаходиться за вибраним рівнем значущості α в таблиці розподілу Стьюдента з n-k ступенями свободи.

2.6.3. Перевірка значущості регресії

Значущість регресії означає, що незалежні змінні в сукупності впливають на залежну змінну. Як нульова гіпотеза для перевірки приймається протилежне тведження, а саме H0: β1=β2=...= βk-1.= 0. Можна показати, що коли гіпотеза H0 вірна, то FRkRnkESSkRSSnkFknk=−−−=−−−−221111~, (2.24)

За вибраним рівнем значущості α в таблиці розподілу Фішера з k–1, n–2 ступенями свободи знаходимо критичне значення F кр. Якщо |F|<Fкр, то гіпотеза H0 приймається. Якщо |F|≥Fкр, то гіпотеза H0 відхиляється. Прийняття нульової гіпотези означає, що модель потрібно відкинути і розглянути іншу.

2.7. Інтерпретація регресійних коефіцієнтів. Порівняння факторів за ступeнем їх впливу

Запишемо рівняння регресії у такому вигляді:

$ybbxbxkk=+++−−0111K 1 (2.25).

Якщо значення змінної xi змінити на одиницю, а решту змінних залишити постійними, то, як зрозуміло з (2.25), значення зміниться на b$yi одиниць. Таким чином, коефіцієнти регресійного рівняння є кількісною мірою впливу окремо взятих незалежних змінних на залежну змінну за умови ceteris paribus.

Коефіцієнти рересійного рівняння було б заманливо використовувати для порівняння різних незалежних змінних (факторів) за ступенем їх впливу на

31

залежну змінну. Однак тут виникають деякі проблеми. Зокрема, величина регре-

31

сійних коефіцієнтів залежить від одиніці виміру. Припустимо, наприклад, що деяка змінна має грошовий вимір. Якщо значення цієї змінної перерахувати з купонокарбованців у гривні, то відповідний коефіцієнт збільшиться у сто тисяч разів. Крім того, одиниці виміру різних змінних в моделі можуть мати різний економічний зміст. Отже, регресійні коефіцієнти не можна використовувати для порівняння дії різних факторів.

Найчастіше використовують два методи:

1. Порівняння коефіцієнтів в регресії відносно стандартизованих змінних.

2. Порівняння коефіцієнтів еластичності.

Регресія відносно стандартизованих змінних.

Розглянемо наступну модель лінійної регресії: yxxiiikiki=+ n +++=−−βββε011111K,, (2.26).

Введемо наступні позначення: yyniin==Σ1–середнє значення залежної змінної , xxnjijin==Σ1,jk=−1, 1– середнє значення j-ї незалежної змінної , σyiinyyn=−−=Σ()211–середньоквадратичне відхилення залежної змінної ,

σxijjinjxxn=−−=Σ()211,jk=−11,– середньоквадратичне відхилення j-ї

незалежної змінної , yyyiiy*=−σ,i=1,n–значення стандартизованої залежної змінної в i-му спостереженні xxxijijjxj*=−σ,in=1,,jk=−1, 1– значення стандартизованої j-ї незалежної змінної в i-му спостереженні.

Модель регресії відносно стандартизованих змінних записується у такому вигляді: yxxiiikiki****,*,,=+++=−−ββε11111K n. (2.27)

32

Оскільки середні значення стандартизованих змінних дорівнюють нулю, то модель (2.27) не містить константи. Оцінки коефіцієнтів при стандартизованих змінних обчислюються за наступними формулами : bbjjxyj*=σσ, jk=−11,.

Зробимо такі зауваження. По-перше, оскільки середньоквадратичні відхилення мають ті самі розмірності, що і змінні, стандартизовані змінні є безрозмірними величинами. По-друге, середньоквадратичне відхилення можна інтерпретувати як типову для даної сукупності спостережень величину зміни змінної. Отже, можна сказати, що коефіцієнти стандартизованої регресії є мірою впливу незалежних змінних в термінах типової величини іх зміни.

Коефіцієнти еластичності.

Нехай змінна y залежить від змінних x1, ...,xk-1: y = f(x1,...,xk-1). Коефіцієнт еластичності змінної y відносно xi визначається так: ε∂∂∂∂jkjjjkfxxxxfxxfxxx==−−(ln(,,...,)(ln)(,,...,)121121,jk=−1, 1 (2.28)

Найчастіше використовують коефіцієнти еластичності попиту відносно ціни та доходу в моделях попиту. Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться y у відповідь на зміну xi у 1 відсоток за умови, що решта змінних залишиться постійною.

Застосовуючи означення (2.28) до рівняння вибіркової регересії (2.8), одержимо формули для обчислення вибіркових коефіцієнтів еластичності εjjjkkbxbbxbx=+++−−01111 ...

, j = 1, k − 1 (2.29)

З формули (2.29) випливає, що коефіцієнти еластичності залежать від того, при якому значенні змінної вони обчислюються. Стандартним є обчислення коефіцієнтів еластичності при середніх значеннях змінних: εjjjbxy=, jk=−1, 1 (2.30)

Відзначимо, що для порівняння не існує критерія, придатного в усіх ситуаціях. При виборі критерія треба враховувати мету дослідження, використовувати знання з тієї галузі економічної теоріїї, яка вивчає досліджуваний об’єкт. Наприклад, при аналізі виробничої функції можна робити порівняння коефіцієнтів еластичності відносно праці та капіталу з

33

урахуванням вартості зміни на один відсоток величини капіталу та обсягу трудових ресурсів.