2.8.Моделі, які зводяться до моделі лінійної регресії

Розглянемо виробничу функцію Коба–Дугласа:

Y = ALαCβ, (2.31)

де Y–валовий випуск, L–обсяг трудових ресурсів, С–обсяг капіталу (виробничих фондів), A, α, β – параметри. Коефіцієнт пропорційності A відображає рівень технології. Парамери α та β є коефіцієнтами еластичності відносно праці та капіталу (отже, функція Коба–Дугласа є виробничою функцією зі сталою еластичністю). Прологарифмувавши рівняння (2.31), маємо:

y = a + αl + βc, (2.32)

де a = lnA, l = lnL, c = lnC. Якщо ввести до рівняння (2.32) стохастичний доданок, то одержимо модель лінійної регресії:

y = a + αl + βc +ε. (2.33)

Щоб перетворити вихідну модель (2.31) на стохастичну, обчислимо експоненту від обох частин рівності (2.33):

Y = ALαCβeε. (2.34)

Ми бачимо, що модель (2.34) можна звести до моделі лінійної регресіі. Аналогічно можна вивчати досить широкий клас моделей, які за допомогою перетворень змінних та рівнянь можна звести до моделі лінійної регресії. Широковживаним є приклад поліноміальної регресії:

yxxxkk=+++++−−ββββ011211K ε.

2.9. Фіктивні змінні.

У попередніх розділах ми розглядали змінні, які можна вимірювати за допомогою кількісних шкал (вартість капіталу, рівень інфляції, обсяг попиту і т.ін.). Однак, у багатьох випадках на поведінку змінної, яку ми вивчаємо впливають якісні фактори, наприклад, наявність або відсутність вищої освіти, статеві, расові відмінності. Для врахування дії подібних чинників застосовують фіктивні змінні. Фіктивні, або бінарні змінні можуть приймати два значення: 0 та 1. Розглянемо декілька прикладів. Нехай ми вивчаємо залежність заробітної платні від віку та рівня освіти за допомогою такої моделі

yxx=+++βββε01122,

34

де y – величина зарплатні, x1 – вік у роках, x2 – рівень освіти, який вимірюється у роках навчання. Припустимо, що нам потрібно виявити, чи існує відмінність в оплаті праці між чоловіками і жінками. Для цього ми утворюємо фіктивну змінну D :

D = 1 для чоловіків і D = 0 для жінок. Модель набуде вигляду

yxxD=++++ββββε011223.

Величина коефіціента β3 показує відмінність у седньому рівні заробітної платні між чоловіками і жінками, які мають однаковий вік та рівень освіти.

Для того, щоб відтворити в моделі вплив якісного фактора, який може приймати m рівнів, в модель потрібно включити m–1 фіктивну змінну.

Розглянемо модель, яка вивчає ринкову вартість квадратного метра житла:

yxxkk=++++−−βββε01111K.

На ціну квадратного метра житлової площі впливає, на якому поверсі знаходиться квартира, причому важливо, чи є поверх першим, останнім, або ні першим, ні останнім. Тобто фактор «поверх» приймає три значення. Отже, ми формуємо дві фіктивні змінні D1 і D2:

{D110= якщо квартира розташована на першому поверсі в інших випадках,

{D210= якщо квартира розташована на останньому поверсі в інших випадках.

Тепер модель має вигляд

yxxDDikk=++++++−−βββγγε011111122K.

За такого вибору фіктивних змінних середня ціна квадратного метра квартири, розташованої на «середньому» поверсі є базовою. За умови рівності змінних (факторів) x1, ...,xk-1 середня ціна квадратного метра квартири, розташованої на першому поверсі відрізняється від базового рівня на величину γ1, а квартири, розташованої на останньому поверсі – на величину γ2.

Фіктивні змінні також використовують для врахування cезонного ефекту. Наприклад, залежність між змінними x та y на основі щоквартальних даних можна досліджувати за допомогою такої моделі:

y=α + βx + γ1D1 + γ2D2 + γ3D3 + ε, (2.35)

де D1, D2, та D3 – сезонні фіктивні змінні, які визначаються наступним чином:

{D110= для першого кварталу для решти кварталів,

35

{D210= для другого кварталу для решти кварталів,

{D110= для третього кварталу для решти кварталів.

При наявності щомісячних даних використовують 11 сезонних фіктивних змінних:

{D110= для лютого для решти місяців,

{D210= для березня для решти місяців,

. . .

{D1110= для грудня для решти місяців.