- •2.1. Опис моделі
- •4.1. Вступ
- •5.1. Вступ
- •1.1.Опис Моделі
- •1.2. Знаходження оцінок параметрів регресії методом найменших квадратів
- •1.3.Властивості залишків методу найменших квадратів
- •1.4.Розклад дисперсії залежної змінної. Коефіціент детермінації
- •1.5.Статистичні власт ок методу найменших
- •1.6.Статистичні висновки в моделі простої лінійної регресії
- •1.6.1. Перевірка гіпотез про коефіцієнт нахилу регресії
- •1.6.2. Інтервальне оцінювання
- •1.6.3. Перевірка значущості регресії
- •1.7. Прогнозування за допомогою простої лінійної регресії
- •1.8.Приклад
- •2.1. Опис моделі
- •2.2. Знаходження параметрів регресії методом найменших квадратів
- •2.3.Властивості залишків методу найменших квадратів
- •2.4.Розклад дисперсії залежної змінної. Коефіцієнт детермінації
- •2.5. Статистичні властивості оцінок методу найменших квадратів
- •2.6. Статистичні висновки в моделі множинної лінійної регресії
- •2.6.1. Перевірка гіпотез про коефіціенти регресії.
- •2.6.2. Надійні інтервали для коефіціентів регресії
- •2.6.3. Перевірка значущості регресії
- •2.7. Інтерпретація регресійних коефіцієнтів. Порівняння факторів за ступeнем їх впливу
- •2.8.Моделі, які зводяться до моделі лінійної регресії
- •2.9. Фіктивні змінні.
- •2.10.Перевірка гіпотез про лінійні обмеження на параметри
- •2.11 Перевірка гіпотез про стійкість моделі
- •2.11.1. Критерій дисперсійного аналізу
- •2.11.2. Критерій Чоу
- •3.1. Вступ
- •3.3.Наслiдки гетероскедастичності збурень на оцiнки методу найменших квадратiв
- •3.4. Зважений метод найменших квадратiв у випадку відомої коваріаційної матриці збурень
- •3.5. Виявлення гетероскедастичності
- •3.5.1. Загальні критерії виявлення гетероскедастичності
- •3.5.2. Регресійні критерії виявлення гетероскедастичності
- •4.2. Опис моделi
- •4.3.Наслiдки автокорельованостi збурень на оцiнки методу найменших квадратiв
- •4.4. Узагальнений метод найменших квадратiв у випадку відомої кореляційної матриці
- •4.5. Процес авторегресiї першого порядку
- •4.6. Узагальнений метод найменших квадратiв у випадку ar(1)-збурень
- •4.7. Виявлення автокореляції. Статистика Дурбіна-Уотсона
- •4.8. Оцінювання у випадку невідомої кореляційної матриці збурень
- •5.1.Вступ
- •5.2. Класифікація рівнянь і змінних
- •5.3. Структурний і зведений вигляд систем симультативних рівнянь
- •5.4. Проблема ідентифікації
- •5.4.1. Ідентифікація через зведений вигляд
- •5.4.2. Порядкова та рангова умова ідентифікованості
- •5.5. Методи оцінювання систем симультативних рівнянь
- •5.5.1. Непрямий метод найменших квадратів
- •5.5.2 Двоетапний метод найменших квадратів
3.5.2. Регресійні критерії виявлення гетероскедастичності
Регресійні критерії гетероскедастичності будуються на основі припущення, що дисперсія пропорційна функції від деякої відомої змінної:
wfzii2=(),in=1,.
Критерій Глейзера.
Застосування цього критерія розглянемо на прикладі моделі
yi = α + βx i + υi,i n =1,. (3.15)
На 1-му етапі модель (3.15) оцінюємо за методом найменших квадратів і знаходимо залишки uі, i=1,n. На 2-му етапі будуємо регресію модуля залишків відносно однієї з таких функцій:
|uі| = γ + δxi + εі, (3.16a)
|uі| = γ + δxi+ εі, (3.16b)
|uі| = γ + δ1xi + εі, (3.16c)
|uі| = γ + δ1xi + εі. (3.16d)
Зауважимо, що замість змінної x можна використати іншу змінну, яка вибирається, як правило, з економічних міркувань. Будується послідовно декілька таких регресій. Далі оцінюємо коефіціенти регресій (3.16) і вибираємо з них ту, яка має найбільший коефіціент детермінації .
На 3-му етапі перевіряємо гіпотезу про значущість моделі (3.16) (див. 1.23). Якщо модель (3.16) є значущою, то збурення в моделі (3.15) гетероскедастичні.
Критерій Уайта.
Нехай, ми маємо модель yxxiiikiki=+ n +++=−−βββυ011111K,,,. (3.17)
38
На 1-му етапі модель (3.17) оцінюємо за методом найменших квадратів і знаходимо залишки uі, i=1,n. На 2-му етапі будуємо регресію квадратів залишків відносно всіх змінних з моделі (3.17), їх квадратів та попарних добутків. Наприклад, якщо модель (3.17) має вигляд yxxxxiiiiiii=+ n ++++=βββββυ0112233441,,, (3.18)
то на 2-му етапі будуємо наступну регресію:
ui2 = γ0 + γ1xi1 + γ2xi2 +γ3xi3 +γ4xi4 +γ5xi12 +γ6 +γ7xi32 +γ8xi42 +γ9xi1xi2 +
+ γ10xi1xi3 + γ11xi1 xi4 + γ12xi2xi3 + γ13xi2 xi4 + γ1xi3 xi4 + εi, i=1,n. (3.19)
На 3-му етапі перевіряємо гіпотезу про значущість моделі (3.19) (див. 2.24). Якщо модель (3.19) є значущою, то збурення в моделі (3.18) гетероскедастичні.
Головний недолік регресійних критеріїв полягає у наступному. Якщо критерій не виявляє гетероскедастичності, то це не обов’язково означає, що гетероскедастичність відсутня. Коректний висновок такий, що відсутня гетероскедастичність певного вигляду.
Перевага є в тому, що за допомогою цих критеріїв можна знаходити ваги для зваженого методу найменших квадратів.
3.6 Використання регресійних критеріїв для оцінювання моделей
3.6.1.Обчислення вагів на основі критерія Глейзера
Нехай, наприклад, виявилось, що допоміжна модель (3.16b) є значущою, тобто в моделі (3.15) має місце гетероскедастичність. Позначимо через $γта оцінки коефіціентів γ і δ в моделі (3.16b). Ваги w$δi для підстановки до формул (3.6) – (3.9) обчислюються так:
wi = $γ+ $δxi, in=1,.
3.6.2.Обчислення вагів на основі критерія Уайта
Припустимо, що допоміжна модель (3.19) виявилась значущою, тобто в моделі (3.18) має місце гетероскедастичність. Позначимо через оцінки , знайдені за моделлю (3.19) так, як в попередньому пункті. Ваги w$ui2ui2i для підстановки до формул (3.6) – (3.9) обчислюються так
wi =$ui2,in=1,.
39
39
РОЗДІЛ 4. МОДЕЛЬ ЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ З АВТОКОРЕЛЬОВАНИМИ ЗБУРЕННЯМИ
4.1. Вступ
В цьому розділі ми розглянемо регресійні моделі, в яких порушується припущення 3 – про незалежність збурень.
Є дві ситуації, в яких збурення в моделях лінійної регресії можуть бути корельованими. Припустимо, ми розглядаємо модель, яка вивчає особисте споживання. Тодi логiчно очiкувати, що для домогосподарств, які розташовані недалеко одне вiд одного, у структурi споживання спостерiгатиметься бiльше подібності. І , якщо даний еффект не враховано в моделі, він впливатиме на характер збурень – вони будуть корельованими. Кореляція, що виникає у подібних випадках, має назву спатіальної, або просторової, кореляції. В деяких випадках проблему спатіальної кореляції можна розв’язати за допомогою фіктивних змінних.
Автокореляцiя, або часова кореляцiя збурень виникає у моделях, побудованих за даними, якi є часовими рядами. Такий тип кореляцiї збурень пов`язаний з тим, що деякi економiчнi системи мають, так би мовити, інерцiю, тобто якщо в деякий момент часу за певних причин виникло вiдхилення вiд закономiрної поведiнки (нагадаємо, що збурення і відтворюють в моделі такі відхилення), то вплив вiд цього може спостерiгатись на протязi декiлькох наступних перiодiв часу. Нехай, наприклад, ми вивчаємо рiвень безробiття за допомогою деякої моделi. У деякий момент часу фактичний рівень безробiття був бiльшим, нiж розрахований з моделi. Оскiльки для того, щоб зменшити рiвень безробiття потрiбен час , то логiчно очiкувати, що i наступний фактичний рiвень безробiття також буде бiльшим, нiж теоретичний. Якщо згадати інтерпретацію збурень, то стане зрозуміло, що останні міркування суперечать припущенню про некорельованість збурень. Надалі в цьому розділі ми розглядатимемо саме проблему автокореляціі.