2.10.Перевірка гіпотез про лінійні обмеження на параметри

В параграфі 2.6 ми побачили, як перевіряти гіпотези про окремо взяті регресійні коефіціенти. Однак, часто з економічних міркувань випливають більш складні обмеження на параметри регресії. Розглянемо кілька прикладів.

Неважко показати, що економічна система, яка описується функцією Коба–Дугласа (2.31) має нейтральний ефект від масштабу (ресурси мають постійну ефективність), якщо α +β = 1, негативний ефект від масштабу (ресурси мають спадну ефективність), якщо α +β < 1 і позитивний ефект від масштабу (ресурси мають зростаючу ефективність), якщо α +β > 1. Постає питання: чи в даній економічній системі має місце нейтральний ефект від масштабу? Щоб відповісти на це питання, потрібно в моделі лінійної регресії (2.33) перевірити гіпотезу

H0: α +β = 1. (2.36)

Гіпотеза (2.36) є прикладом гіпотези про лінійне обмеження на параметри регресії, яка у загальному випадку записується так:

rjjjkβ==−Σ01

q, де rj, jk=−0, 1та q – відомі числа.

Нерідко виникає потреба перевірити гіпотезу про те, що кілька лінійних обмежень виконуються водночас, іншими словами, гіпотезу про сукупність лінійних обмежень. Так, відсутність сезонного ефекту в моделі (2.35) означає, що коефіціенти при сезонних фіктивних змінних дорівнюють нулю водночас.

36

Отже перевірка твердження про відсутність сезонного ефекту зводиться до перевірки наступної гіпотези:

H0: γγγ123000===⎧⎨⎪⎩⎪.

Оскільки рівняння вібіркової регресії є рівнянням лінійної функції, то модель лінійної регресії має наступну властивість. При зміні xj на одиницю y зміниться на bj, якими б не були значення решти змінних. Оскільки різні фактори часто взаємодіють між собою, дана властивість не завжди є реалістичною. Тому, щоб відобразити цю взаємодію, доцільно також спробувати включити до моделі добутки вихідних незалежних змінних як нові незалежні змінні. Наприклад, разом з моделлю.

yxxx=++++ββββε0112233

можна розглянути модель

yxxxxxxxxx=+++++++ββββγγγε0112233112213323. (2.37)

Якщо в моделі (2.37) x1 зміниться на одиницю, а x2 та x3 залишаться постійними, то y зміниться на β1 + γ1 x2 + γ2 x3. Отже, величина зміни незалежної змінної залежить від значень x2 та x3. Цей ефект виникає внаслідок того, що різні незалежні змінні взаємодіють між собою. Щоб перевірити, чи є взаємодія несуттєвою, потрібно перевірити гіпотезу

H0: γγγ123000===⎧⎨⎪⎩⎪.

Ми побачили, як виникають задачі перевірки гіпотез про лінійні обмеження. Тепер перейдемо до їх розв’язку. Припустимо, ми маємо рівняння множинної регресії:

yxxx=++++ββββε0112233. (2.38)

Нам потрібно перевірити гіпотезу про обмеження:

H0:{βββββ12313230++=−=. (2.39)

37

Для цього треба знайти суму квадратів залишків RSSU у вихідній моделі та суму квадратів залишків RSSR y моделі з обмеженнями (див. с. 20). Запишемо обмеження у такому вигляді:

ββ133= та ββ2324=−.

Підставимо ці співвідношення до рівняння (2.38)

yxxx=++−++ββββε0313233324(). (2.40)

Перенесемо в (2.40) всі відомі величини до правої частини рівняння і зберемо подібні при параметрах регресії в його лівій частині:

yxxxx−=+−++234201233ββε()

Щоб знайти суму квадратів залишків RSSR y моделі з обмеженнями, потрібно оцінити регресію змінної( відносно() ) 3 yx−223412xxx−+ і константи.

У загальному випадку сукупнісь r лінійних обмежень на параметри регресії записується у вигляді , де Rβ=q R відома матриця, що має r рядків, причому всі її рядки лінійно незалежні, а q-відомий вектор. В нашому прикладі обмеження (2.39) набудуть вигляду:

00111013020123−⎛⎝⎜⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎞⎠⎟ββββ.

Якщо гіпотеза H0: вірна, то статистика Rβ=q

FRSSRSSrRSSnkRUU=−− (2.41)

має розподіл Фішера з r, n-k ступенями свободи.