3.3.Наслiдки гетероскедастичності збурень на оцiнки методу найменших квадратiв

1.Оцiнки МНК будуть незмiщеними, але не будуть ефективними (не матимуть найменшої дисперсiї).

2.Стандартнi оцiнки коварiацiйної матрицi оцiнки МНК будуть змiщеними, i, як наслiдок, процедури перевiрки гiпотез та iнтервального оцiнювання, основанi на стандартних статистиках, будуть некоректними.

3.4. Зважений метод найменших квадратiв у випадку відомої коваріаційної матриці збурень

Припустимо, що коваріаційна матриця збурень вiдома з точністю до коефіціента пропорційності, тобто

Dυi= σ2wi2,i n =1,, (3.4)

де відомі, а σwi22 – невідомий коефіціент пропорційності. В системі (3.1) (або (3.2)) почленно розділимо i-те рівняння на wi(in=1,): yxxxiiiikiki***,*,,=++++=−−βββε0011111K n, (3.5)

де yywiiii*,,==1n, (3.6) xxwjkiijijj*,,,==−=011,n , (3.7) ευiiiwi==,,1n. (3.8)

35

Якщо ми розглядаємо модель з константою (3.2), то значення змінної обчислюються за такою формулою: x0* xwiij011*,,== n. (3.9)

Зауважимо, що ___________оцінка β-коефіціента при змінній є оцінкою постійного доданку у вихідній моделі. 0x0*

Зазначимо, що вектори коефiцiентiв β в моделях (3.1) i (3.5) спiвпадають. Знайдемо коварiацiйну матрицю збурень ε в моделi (3.5). Спочатку обчислимо математичне сподiвання: EEEευυiiiiiww== = 1 0 ,i = 1,n . (3.10)

Отже, DEEEDεευυυσiiiiiiiiiiwwwww==222222222111=⎛⎝⎜⎞⎠⎟== = σ . (3.11)

Крім того, cov(EEEcov( (3.13)εεεευυυυυυijijijijijijijijwwwwww,),)=====110

З (3.11) і (3.12) випливає, що модель (3.5) є моделлю класичної лiнiйної регресiї. Отже, оцiнки вектора параметрів регресії β, знайдені в моделi (3) методом найменших квадратів, мають бажанi статистичнi властивостi, тобто задовольняють теоремі Гауса–Маркова і, що є для нас головним, цими оцінками можна користуватись для статистичних висновків.

Означення.

Оцiнкою зваженого МНК коефiцiентiв моделi (3.1) називається оцінка звичайного МНК, знайдена за моделлю (3.5).

На практицi у бiльшостi випадкiв ваги wi невiдомі. Якщо не робити нiяких додаткових припущень, то їх оцiнити неможливо, тому що іх кількість дорівнює кількості спостережень.

3.5. Виявлення гетероскедастичності

36

Критерії виявлення гетероскедастичності розділяються на дві групи: загальні та регресійні.

3.5.1. Загальні критерії виявлення гетероскедастичності

Загальні критерії відрізняються тим, що при їх формуванні не використовуються припущення про характер гетероскедастичності. В цьому полягає іх перевага. Недоліком є те , що такі критерії лише виявляють наявність гетероскедастичності, але не дають інформації для розв’язання проблеми. В цьому початковому курсі ми розглянемо лише один з цієї групи критеріїв, а саме критерій Голфельда-Квондта.

Критерій Голфельда-Квондта.

Його використовують тоді, коли всі наявні спостереження можна розбити за деякою ознакою на дві групи. У випадку однієї незалежноої змінної споcтереження з найменшими значеннями можуть складати одну групу, а другу – спостереження з найбільшими значеннями незалежної змінної. Розбиття можна робити також за значеннями залежної змінної.

Нехай сукупність n спостережень розбита на дві групи об’ємами n1 і n2. Частину спостережень з середніми значеннями можна виключити. В цьому випадку n1 + n2 < n. Для того щоб застосувати критерій Голдфельда-Квондта, необхідно оцінити модель за методом найменших квадратів окремо на кожній підвиборці і знайти

$σ12– оцінку дисперсії збурень за першою групою спостережень, та

$σ22– оцінку дисперсії збурень за другою групою спостережень (

див. (

2.18).

У припущенні,що гетероскедастичність відсутня, статистика F=1222$$σσ (3.13)

має розподіл Фішера з n1 – k, n2 – k ступенями свободи.

Перевірка гіпотези виконується таким чином.

Якщо > , то обчислюють статистику (3.13) і порівнюють її з критичним значенням F$σ12$σ22кр(α,n1 – k,n2 – k), знайденим за вибраним рівнем значущості α в таблиці розподілу Фішера з n1 – k, n2 – k ступенями свободи. Якщо < , то обчислюють статистику $σ12$σ22 F=2212$$σσ (3.14)

37

і порівнюють її з критичним значенням Fкр(α,n2 – k,n1 – k), знайденим за вибраним рівнем значущості α в таблиці розподілу Фішера з n2 – k, n1 – k ступенями свободи.

Далі значення F-статистики (3.13) або (3.14) порівнюють з табличним. Якщо F < Fкр, то вважають, що гетероскедастичність відсутня. Якщо F ≥ Fкр, то вважають, що гетероскедастичність має місце.