2.11 Перевірка гіпотез про стійкість моделі

Припустимо, що ми хочемо побудувати модель деякої економічної системи за даними, що є часовими рядами. Нехай, наприклад, потрібно оцінити макроекономічну виробничу функцію для деякої країни за щорічними даними, причому на протязі періоду, який досліджується, відбулась економічна реформа. Природньо постає питання: чи маємо ми право користуватись єдиною

38

моделлю на протязі всього періоду часу. Відповідь на подібні питання можна одержати за допомогою дослідження моделі на стійкість.

2.11.1. Критерій дисперсійного аналізу

Розглянемо модель

yxjjjk==−Σβ01

+ε (2.42)

У нашому розпорядженні є n спостережень, які розбито на дві групи з n1 та n2 спостережень відповідно (n = n1 + n2). Гіпотеза про стійкість моделі полягає у тому, що параметри регресії однакові для обох груп спостережень. Для перевірки гіпотези потрібно оцінити модель (2.42) тричі: за всіма спостереженнями і кожною групою окремо. Введемо такі позначення:

RSS – сума квадратів залишків у моделі, яка оцінена за всіма n спостереженнями,

RSS1 – сума квадратів залишків у моделі, яка оцінена за першими n1 спостереженнями

RSS2 – сума квадратів залишків у моделі, яка оцінена за останніми n2 спостереженнями.

Якщо гіпотеза про стійкість моделі вірна, то FRSSRSSRSSkRSSRSSnkFknk=−++−−()~,121222. (2.43)

2.11.2. Критерій Чоу

Застосовується у випадках, коли одна з двох груп нараховує невелику кількість спостережень, недостатню для знаходження оцінок. Нехай, для визначеності, n1 > n2. Для перевірки гіпотези потрібно оцінити модель (2.42) двічі: за всіма спостереженнями і за більшою групою. Позначимо :

RSS – сума квадратів залишків у моделі, яка оцінена за всіма n спостереженнями,

RSS1 – сума квадратів залишків у моделі, яка оцінена за більшою групою з n1 спостереження.

Якщо гіпотеза про стійкість моделі вірна, то FRSSRSSnRSSnkFnnk=−−−121121~,. (2.44)

39

33

РОЗДІЛ 3. МОДЕЛЬ ЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ З ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНИМИ ЗБУРЕННЯМИ

3.1. Вступ

В цьому розділі ми розглянемо регресійні моделі, в яких порушується припущення 2 – про рівність дисперсій збурень.

Проаналізуємо залежність особистого споживання від доходу. Згадаємо, що збурення в моделі лінійної регресїї можна вважати відхиленням рівня споживання конкретного домогосподарства від середнього рівня, який відповідає даному розміру доходу. Логiчно очiкувати, що для домогосподарств з більшими доходами спостерiгатиметься бiльший розкид рівнів споживання. Отже, оскільки дисперсія збурень є мірою цого розкиду, то припущення про рівність дисперсій збурень в такій моделі буде нереалістичним.

Наведений приклад показує необхідність вивчення нового класу моделей, які узагальнюють класичну модель лінійної регресії – моделей з гетероскедастичними збуреннями.

3.2. Опис моделi.

Нам знадобляться наступні позначення. Літерою υ позначимо вектор збурень у вихідній моделі, а літеру ε зарезервуємо для позначення збурень, які задовольняють припущенням 1 – 5 з параграфа 2.1.

Розглянемо модель лінійної регресії yxxxiiiikiki= n ++++=−−βββυ0011111K,,,, (3.1)

або, якщо ми маємо модель з константою, yxxiiikiki= n ++++=−−βββυ011111K,,,, (3.2)

в якій вектор збурень υ = (υ1, υ2. . . υn)T має такi властивостi:

1.Eυ=0

2. Гетероскедастичність збурень: Dυi =,σi2in=1,, при . σσij2≠ 2 ij≠

3. Незалежність збурень: υі та υj незалежні приij≠.

4. Незалежність збурень та регресорів: xij та υі незалежні для всіх i та j.

5. (Додаткове) Збурення υi нормально розподілені для всіх i.

Припущення 2 і 3 зручно записувати у матричному вигляді:

34

D=υσσσ122220000000⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟n (3.2)