РГР Дифуры [13 вариант]
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5 _16 _13 |
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y′′+9 y = 9 cos 3x, |
y (0)=1, |
y′(0)= 0 |
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характеристическое уравнение |
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k2 +9 = 0 k = ±3i |
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yобщ |
= C1 cos 3x +C2 sin 3x |
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частное решениебудемискать методомвариации |
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произвольныхпостоянных. Пусть_ C1 |
= C1 (x),C2 |
= C2 (x) |
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y1 |
= cos 3x; y1′ = −3sin 3x |
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y2 |
= sin 3x; y2′ = 3cos 3x |
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f |
= 9 cos 3x |
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C′ y |
+C′ |
y |
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= 0 |
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C′ cos 3x |
+C′ |
sin 3x = 0 |
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1 |
1 |
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2 |
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2 |
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1 |
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2 |
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C1′ y1′ +C2′ y2′ = f |
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C1′ (−3sin 3x) +C2′ (3cos 3x) = 9 cos 3x |
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W = |
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y1 |
y2 |
= y1 y2′ − y2 y1′ = cos 3x 3cos 3x −sin 3x (−3sin 3x) = 3 |
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y1′ |
y2′ |
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C1′ = |
−y2 f |
= −sin 3x 9 cos 3x |
= −3 tg 3x C1 = ln cos 3x +C3 |
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W |
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3 |
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C2′ = |
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y1 f |
= |
cos 3x 9 cos 3x |
= 3 C2 = 3x +C4 |
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W |
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3 |
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y = (ln cos 3x +C3 )cos 3x +(3x +C4 )sin 3x |
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y ' = |
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1 |
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(−sin 3x) |
3 cos 3x + |
(ln cos 3x +C ) |
(−sin 3x) 3 + |
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3 |
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cos 3x |
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+3sin 3x +(3x +C4 ) cos 3x 3 |
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y(0) =1 |
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ln1 +C |
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1 =1 |
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C3 |
= |
1 |
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( |
3 ) |
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= 0 |
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y '(0) = 0 |
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(3 0 |
+C4 ) 1 3 = 0 |
C4 |
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y = ln cos 3x cos 3x +3x sin 3x