Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет
Предмет:
Алгебра и начала анализа
Файл:

РГР Дифуры [13 вариант]

.pdf
Скачиваний:
84
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
170.61 Кб
Скачать
☆

5 _ 06 _13

2 y′+3y cos x = e2 x (2 +3cos x)y−1 , y (0)=1

2 yy′+3y2 cos x = e2 x (2 +3cos x)

 

 

 

z = y2 z ' = 2 yy '

 

 

 

 

 

z '+3z cos x = e2 x (2 +3cos x)

 

 

 

 

 

z = uv z ' = u 'v +uv '

 

 

 

 

 

u 'v +uv '+3uv cos x = e2 x (2 +3cos x)

 

u 'v +u(v '+3v cos x) = e2 x (2 +3cos x)

 

v ' = −3v cos x

dv

= −3cos x dx

 

u 'v

= e2 x (2 +

3cos x) v

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

= e

 

(2 +3cos x)

v = e

 

u 'v

 

 

 

 

v

= e

 

 

 

−3sin x

(2)

 

 

 

−3 sin x

 

 

 

 

 

= e2 x+3 sin x +C

u ' = e2 x+3sin x (2 +3cos x)

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = uv = e2 x

+Ce−3 sin x

 

 

 

 

 

z (0)=1 C = 0 z = e2 x y = e2 x

(1)

(1) dvv = −3cos x dx ∫dvv = ∫−3cos x dx ln v = −3sin x v = e−3 sin x

t= 2x +3sin t

(2)∫e2 x+3sin x (2 +3cos x)dx = dt = (2 +3cos x)dx = ∫et dt = et +C = e2 x+3sin x +C

5 _ 07 _13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + xy dx+1 − xy dy = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y

 

 

 

xy2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(x, y) = 1 + xy =

1

 

+

1 P'

=

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y

x2 y x

y

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q(x, y) = 1 − xy =

1

−

1

Q'

=

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy2

xy2

y

x

 

 

x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P'

= Q'

это уравнениеполныхдифференциалов

 

 

 

 

y

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

−1

 

 

 

F(x, y) = ∫1 +2 xy dx +ϕ( y) = ∫

 

 

+

dx +ϕ( y) =

+ln

x

+ϕ( y)

2

y

x

xy

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

F '

=

1

 

 

 

+ϕ'( y) +Q ϕ'( y) = −1 ϕ( y) = −ln

 

y

 

+C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

xy

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ln

 

x

 

−ln

 

y

 

= C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 _ 08 _13

y′= xy, M (0, −1).

построимполенаправлений дляданногодиф. уравнения. Изоклины, соответствующиенаправлениямполяс угловымкоэффициентом

равнымk есть y = kx

интегральныекривыеимеютвид: y =C ex2 / 2

M (0, −1) C = −1

те. .

y = −ex2 / 2

5 _ 09 _13

M0 (−1, 1), a : b =3 :1

уравнениекасательной y −Y = y '(x − X )

где(x, y) −координатыпроизвольной точкиискомой линии

по условию

 

KN

=

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NM

 

 

 

 

 

 

 

 

xN

 

 

 

 

 

 

 

+KON ~+NML

 

KN

 

=

 

ON

 

 

=

a

 

 

 

 

NM

 

 

 

x − xN

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NL

 

 

 

точка N(xN ;0) принадлежиткасательной

 

 

y = y '(x − xN ) bxN

= ax −axN xN =

 

 

a

x

a

+b

a

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = x −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a +b

 

y '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=

 

b

x

dy

 

=

a +b

 

 

y

y =Cx

a+b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

y '

 

a +b

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M0 (−1, 1), a : b =3 :1 1 =C y = x4

5 _10 _13

(1 + x2 )y′′+ 2xy′ = x3 −дифференциальное уравнениевысшегопорядка,

допускающеепонижениестепени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ' = z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 + x2 )z '+ 2xz = x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z '+

 

 

2xz

 

 

=

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ x2

 

 

1

+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = uv z ' = u 'v +uv '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 'v +uv '+

 

2xuv

 

=

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2

1

+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 'v +u(v '+

 

 

 

 

2xv

 

) =

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

1

+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2xv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

 

2xv

 

 

dv

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

v '+

 

 

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

v =

 

 

 

 

 

 

 

1 + x

2

 

 

 

 

 

 

1 + x

2

 

 

 

1 + x

2

 

 

 

1 + x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 'v

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 'v =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 'v =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 'v

=

 

 

 

 

 

 

1 + x

2

 

 

 

 

 

 

 

1

+ x

2

 

 

 

 

1 + x

2

 

 

 

 

 

 

 

1

+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x

 

 

z = uv

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

4(1 + x2 )

1

+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

' = x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

=

 

 

 

 

+C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

x4

+1 −1

+

 

 

C

 

 

 

 

=

 

x4 −1

 

+

 

 

1

 

 

+

 

 

C

 

 

 

 

 

=

x2

−1

+

 

 

C

0

 

= y '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4(1 + x2 )

 

1 + x2

 

4(1 + x2 )

4(1

+ x2 )

1

+ x

2

 

 

 

 

4

 

 

1

+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ∫y 'dx

=

x3

−

x

+C0 arctg x +C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете Алгебра и начала анализа
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности