Примеры решения задач из Кузнецова

Решение “Пределы. Раздел 2”:

2.17

Задача 7. Провести полное исследование функций и построить их график.

2.17.

Уравнение касательной: .

y₀= (1+1)/(1+1)=1

y'= (5х⁴(х⁴+1)-4х³(х⁵+1))/(х⁴+1)²=(х⁸+5х⁴-4х³)/(х⁴+1)²

y₀'= (1+5-4)/(1+1)²=1/2

Уравнение касательной имеет вид:

у-1=1/2*(х-1)

у=1/2*х+1/2

Задача 3. Найти дифференциал .

3.17.

dy=((x/(x+√(x²+1)))*((2x(1+x/√(x²+1)-2(x+√(x²+1))))/(4x²)))dx=((x/(x+√(x²+1)))*((x√(x²+1)+x²-x√(x²+1)-x²-1)/x²))dx=-dx/(x²+x√(x²+1))

Задача 6. Найти производную.

6.17.

e^x+ e^2x

y'= √(e^2x-1) ­_ e^-x = e^x(e^x+√(e^2x-1)) _ e^-x*e^x = e^x-1 .

e^x+√(e^2x-1) √(1-e^-2x) (e^x+√(e^2x-1))√(e^2x-1) √(e^2x-1) √(e^2x-1)

Задача 11. Найти производную.

11.17.

lny= 5x/2*lnsinx

y'= (sinx)^5x/2(2,5lnsinx+(5xcosx)/sinx)= (sinx)^5x/2(2,5lnsinx+5xctgx)

Задача 1. Написать разложение вектора по векторам .

1.17.

x= h₁p+h₂q+h₃r

Найдем h₁, h₂ и h₃ из системы уравнений

0+h2+2h3= 3

h1+2h2+0= 1

3h1-h2-h3= 8

h1= 3

h2= -1

h3= 2

x= 3p-q+2r