7. Разложение произвольного векторного поля в виде потенциального и вихревого поля.

Потенциальное векторное поле

Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным (например, в многосвязной области у безвихревого поля может не существовать скалярный потенциал).

В физике, имеющей дело с силовыми полями, математическое условие потенциальности силового поля можно представить как требование равенства нулю работы при перемещении частицы, на которую действует поле, по замкнутому контуру. В качестве потенциала поля в этом случае можно выбрать работу по перемещению пробной частицы из некоторой произвольно выбранной исходной точки в заданную точку (по определению эта работа не зависит от пути перемещения). Например, потенциальными являются статическое электрическое поле, а также гравитационное поле в ньютоновой теории гравитации.

Вихревое поле.

Возникающее при изменении магнитного поля электрическое поле имеет совсем другую структуру, чем электростатическое. Оно не связано непосредственно с электрическими зарядами, и его силовые линии не могутна них начинаться и кончаться. Они вообще ни где не начинаются и нигде не кончаются, представляя собой замкнутые линии, подобные силовым линиям магнитного поля. Это так называемое вихревое поле.

При изменении поля сильного электромагнита появляются мощные вихри электрического поля, которые можно использовать для ускорения электронов до скоростей, близких к скорости света. На этом принципе основано устройство ускорителя электронов — бетатрона. Электрический ток в бетатроне не возникает непосредственно в вакуумной камере без каких-либо металлических проводников.

Может возникнуть вопрос: а почему, собственно, это поле называется электрическим? Ведь оно имеет другое происхождение и другую конфигурацию, чем статическое электрическое поле. Ответ прост: вихревое поле действует на заряд точно так же, как и электростатическое, а это мы считали и считаем главным свойством поля.

Еще один естественный вопрос. Ведь все сказанное в конце концов не более чем предположение, достоверность которого совсем не самоочевидна. Может быть, в действительности дело обстоит и не так? Само-то электрическое поле мы не воспринимаем и судим о его присутствии только по силам, действующим на заряженные частицы!

Но это уже по существу старое сомнение в реальности полей вообще, высказывавшееся сторонниками действия на расстоянии. Решительное его опровержение — существование электромагнитных волн, в самом процессе возникновения которых порождение электрического поля переменным магнитным полем играет фундаментальную роль.

27 Плоские волны.

ПЛОСКАЯ ВОЛНА - волна, у к-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства. Простейший пример - однородная монохроматич. незатухающая П. в.:

где А - амплитуда,  - фаза,  - круговая частота, Т - период колебаний, k - волновое число. Поверхности постоянной фазы (фазовые фронты)  = const П. в. являются плоскостями.  При отсутствии дисперсии, когда фазовая скорость v_ф и групповая скорость v_гр одинаковы и постоянны (v_гр ⁼ v_ф = v) существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущие П. в., к-рые можно представить в общем виде

где f - произвольная ф-ция. В нелинейных средах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2), но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, так и от характера движения волны. В поглощающих (диссипативных) средах П. в. уменьшают свою амплитуду по мере распространения; при линейном затухании это может быть учтено путём замены в (1) k на комплексное волновое число k_д ik_м, где k_м - коэф. затухания П. в. Однородная П. в., занимающая всё бесконечное пространство, является идеализацией, однако любое волновое поле, сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиями передачи иливолноводами ),можно представить как суперпозицию П. в. с тем или иным пространственным спектром k. При этом волна может no-прежнему иметь плоский фазовый фронт, во неоднородное распределение амплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отд. участки сферич. или цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазового фронта, приближённо ведут себя как П. в.