6. Скалярное произведение векторов и его свойства

6.1. Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

  

Формуле   (6.1)   можно   придать   иной   вид.   Так   как | a| cos=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр _ab, то получаем:

      

 т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

6.2. Некоторые приложения скалярного произведения

Угол между векторами

    Определение угла φ между ненулевыми векторами а = (a_x; a_y; a_z) и b=( b_х; b_у; b_г):

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b:

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора а на направление, заданное вектором b, может осуществляться по формуле

Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол  с перемещением АВ= S (см.рис. 15).

Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна

А=F•S•cos   т. е.   А=(F•S).

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

6.3. Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

      

 Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. са и сb;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):

i х j = k,    j х k = i,    k х i = j.  Докажем, например, что iхj=k.

1) ki, kj;

2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

26. Сферическая волна

СФЕРИЧЕСКАЯ ВОЛНА - волна, радиально расходящаяся от нек-рой точки (источника) или сходящаяся к ней (к стоку) и имеющая сферич. волновые фронты (поверхности равных фаз). Простейшим примером является сферически симметричная скалярная волна вида расходящаяся от центр. точки r = 0 (знак " -") или сходящаяся к ней (знак "+") со скоростью с. Такая волна удовлетворяет волновому уравнению и описывает многие физ. процессы в линейных средах без дисперсии и без потерь. Суперпозиция сходящейся и расходящейся волн (в частности, стоячая С. в.) также является решением волнового ур-ния.

Ф-ция f в общем случае произвольна; важный частный случай - гармоническая С. в.: f=A expi(wt + kr); в такой волне А/r - амплитуда, а wt + kr = Ф - фаза (w - круговая частота, k - волновое число).

Если величина u(r, t)описывает физ. поле (напр., возмущение давления в звуковой волне, скалярный потенциал в эл--магн. волне и др.), то плотность потока энергии поля, уносимой от источника или приносимой к нему, пропорц. |u(r, t)|2, и, следовательно, общий поток энергии через сферу любого радиуса r, пропорц. 4pr2|и|2, сохраняется неизменным. Это является следствием закона сохранения энергии.

При наличии поглощения в среде энергия С. в. убывает в направлении её распространения. Для гармонии. С. в. поглощение может быть учтено заменой k на k' + k'', где k'' - мнимая часть волнового числа. Это означает, что амплитуда волны затухает по экспоненте:

Существуют и несимметричные С. в., амплитуды к-рых зависят от полярной q и азимутальной j угл. координат, но фазовые фронты по-прежнему остаются сферическими: где U(r, t)отвечает симметричной С. в., напр. в форме (1) или (2), a D(q, j) описывает угл. зависимость поля (эту ф-цию можно представить в виде суперпозиции т. н. сферич. гармоник). В однородных изотропных средах волновое поле на больших расстояниях от центра почти всегда имеет вид (3). Подбором D можно концентрировать поле около заданных направлений, поэтому ф-ция D(q, j) наз. диаграммой направленности излучения источника.