Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
тув тув тув пиф паф.docx
Скачиваний:
2
Добавлен:
20.09.2019
Размер:
236.24 Кб
Скачать

14 Вопрос

Те́нзор напряже́ний — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях — касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.

Полный тензор механического напряжения элементарного объёма тела. Буквой σ обозначены нормальные механические напряжения, а касательные буквой τ.

Компоненты тензора напряжений   в декартовой системе координат   (т.е.  ) вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объём тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади  . На каждой грани   параллелепипеда действуют поверхностные силы . Если обозначить проекции этих сил на оси   как  , то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила:

По индексу   здесь суммирования нет. Компоненты  , , обозначаемые также как  ,  — это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы   на нормаль к рассматриваемой грани  :

 и т.д.

Компоненты  , , обозначаемые также как  ,  — это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы   на касательные направления к рассматриваемой грани  :

 и т.д.

В случае линейной теории упругости тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений).

15 Вопрос

В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как Общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все современные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т. д.), а также в теории анизотропных сред (которые могут быть анизотропны изначально, как кристаллы низкой симметрии, или вследствие своего движения или напряжений, как текущаяжидкость или газ, или как деформированное твердое тело). Кроме того, тензоры широко используются в механике абсолютно твердого тела.

Линейные операторы квантовой механики, конечно, также могут быть интерпретированы как тензоры над некими абстрактными пространствами (пространствами состояний), но традиционно такое применение термина тензор практически не используется, как и вообще крайне редко используется для описания линейных операторов над бесконечномерными пространствами. Вообще в физике термин тензор имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным физическим 3-мерным пространством или 4-мерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остаётся.

Примерами тензоров в физике являются:

  • метрический тензор над псевдоримановым 4-мерным многообразием, являющийся в ОТО развитием понятия ньютоновского гравитационного потенциала.

  • выражающийся через него тензор Римановой кривизны и его свёртки, связанные в этой же теории с энергией гравитационного поля и непосредственно входящие в основное уравнение теории.

  • тензор электромагнитного поля над пространством Минковского, содержащий напряженности электрического и магнитного поля и являющийся главным объектом классической электродинамики в 4-мерной записи. В частности, уравнения Максвелла записываются с его помощью в виде единственного 4-мерного уравнения.

  • напряжения и деформации в теории упругости описываются тензорами над 3-мерным евклидовым пространством. То же касается таких величин, как модули упругости.

  • едва ли не большинство величин, являющихся скалярными характеристиками вещества в случае изотропности последнего, являются тензорами в случае анизотропного вещества. Говоря конкретнее, это относится к субстанциальным коэффициентам, связывающим векторные величины или стоящие перед произведениями (в частности, квадратами) векторов. Примерами могут быть удельная электропроводность (также и обратное ей удельное сопротивление), теплопроводность, диэлектрическая восприимчивость и диэлектрическая проницаемость, скорость звука (зависящая от направления) и т. д.

  • в механике абсолютно твердого тела важнейшую роль играет тензор инерции, связывающий угловую скорость с моментом импульса и кинетической энергией вращения. Этот тензор отличается от большинства других тензоров в физике, представляющих собой, вообще говоря, тензорные поля, тем, что один тензор характеризует одно абсолютно твердое тело, полностью определяя, вместе с массой, его инерцию.

  • аналогичным свойством обладают тензоры, входящие в мультипольное разложение: всего один тензор целиком представляет момент распределения зарядов соответствующего порядка в данное время.

  • часто в физике полезен псевдотензор Леви-Чивиты, входящий, например, в координатную запись векторного и смешанного произведений векторов. Компоненты этого тензора всегда записываются практически одинаково (с точностью до скалярного множителя, зависящего от метрики), а в правом ортонормированном базисе — совершенно одинаково всегда (каждая равна 0, +1 или −1).

  • термин 4-тензор — применяется для обозначения любого тензора над четырёхмерным пространством-временем, повороты системы отсчёта в котором включают как обычные повороты трёхмерного пространства, так и переход между системами отсчёта, которые движутся с разными скоростями одна относительно другой. Это тензор над пространством 4-векторов, тензор, каждый индекс которого принимает четыре значения: одно «временно́е» и три «пространственных».

Нетрудно заметить, что большинство тензоров в физике (не рассматривая скаляров и векторов) имеют всего два индекса. Тензоры, имеющие большую валентность (такие, как тензор Римана в ОТО) встречаются, как правило, только в теориях, считающихся достаточно сложными, да и то нередко фигурируют в основном в виде своих свёрток меньшей валентности. Большинство симметрично или антисимметрично.

Простейшей иллюстрацией, позволяющей понять физический (и отчасти геометрический) смысл тензоров, а более точно — симметричных тензоров второго ранга, будет, вероятно, рассмотрение тензора (удельной) электропроводности  . Интуитивно понятно, что анизотропная среда, например, кристалл, или даже какой-то специально изготовленный искусственный материал, не будет в общем случае проводить ток одинаково легко во всех направлениях (например, из-за формы и ориентации молекул, атомных слоев или каких-то надмолекулярных структур — можно представить себе, например, тонкие проволочки хорошо проводящего металла, одинаково ориентированные и вплавленные в плохо проводящую среду). Возьмем за основу для простоты и конкретности, последнюю модель (хорошо проводящие проволочки в плохо проводящей среде). Электропроводность вдоль проволочек будет большой, назовем ее  , а поперек — маленькой, обозначим ее  . (Ясно, что в общем случае (например, когда проволочки сплюснуты в сечении и эта сплюснутость также ориентирована у всех проволочек одинаково, электропроводность   будет отличаться от  , в случае же круглых равномерно распределенных проволочек —  , но не равны ). Довольно нетривиальный в общем случае, но довольно очевидный в нашем примере, факт состоит в том, что найдутся три взаимно перпендикулярных направления, для которых связь вектора плотности тока   и напряженности вызывающего его электрического поля   будут связаны просто числовым множителем (в нашем примере — это направление вдоль проволочек, второе — вдоль их сплюснутости и третье перпендикулярное первым двум). Но любой вектор можно разложить на компоненты по этим удобным направлениям:

тогда можно для каждой компоненты записать:

И мы увидим, что для любого направления, не совпадающего с 1, 2 и 3, вектор   уже не будет совпадать по направлению с  , если только не равны хотя бы два из  ,   и  .

Переходя к произвольным декартовым координатам, не совпадающим с этими выделенными направлениями, мы вынуждены будем включить матрицу поворота для преобразования координат, и поэтому в произвольной системе координат соотношение между   и   будет выглядеть так:

то есть тензор электропроводности будет представлен симметричной матрицей  .

Учитывая же то, что удельная мощность тепловыделения   в проводнике равна скалярному произведению  , нетрудно записать:

или

где   — удельное сопротивление — матрица, обратная матрице  . Так мы наглядно видим еще одно типичное использование симметричного тензора второго ранга в физике — какквадратичной формы, преобразующей вектор в скаляр.

  • В этом примере для простоты использовались только прямоугольные равномасштабные декартовы координаты, поэтому различие верхних и нижних тензорных индексов отсутствует.

Таким образом, мы получили (правда, говоря строго, только для случая симметричного тензора) хороший наглядный геометрический образ тензора, применимый в физике. Этот образ состоит из ортогонального базиса (называемого собственным базисом тензора или его собственными координатами), ориентированного в пространстве определенным образом (определяемым свойствами среды, порождающей тензор), и трех (для трехмерного пространства) чисел (коэффициентов), связанных каждое с одной из этих осей (называемых собственными числами или собственными значениями тензора), предназначенных для умножения на них соответствующих компонент вектора, чтобы получить компоненты вектора нового. Как видим, в частном случае   умножение на тензор   сводится к умножению на число (на скаляр).

Или, умножая квадраты этих компонент (компонент в собственном базисе тензора) вектора на собственные числа, и сложив их, получаем скаляр. Поверхности уровня такой квадратичной формы — эллипсоиды. Такой эллипсоид служит также хорошим геометрическим образом тензора. Направление его главных осей — дает собственный базис тензора, а их величины — определяют его собственные числа.

В алгебре же всё сказанное иллюстрирует понятия собственных векторов (собственного базиса) и собственных чисел линейного оператора, квадратичной формы или матрицы, а процесс нахождения собственного базиса и собственных чисел (называемый задачей на собственные значения) называется диагонализацией оператора, квадратичной (или билинейной) формы или матрицы (так как матрица, представляющая оператор или билинейную форму становится в этом базисе диагональной).