2.6 Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение

В теории вероятностей для характеристики основных свойств распределения часто применяют моменты.

Начальным моментом k‑го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание k‑й степени этой случайной величины

.

Для дискретной случайной величины начальные моменты k-го порядка вычисляют по формуле

,

для непрерывной величины — по формуле

.

При имеем , т.е. приходим к основной характеристике положения: математическому ожиданию случайной величины Х.

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание k‑й степени соответствующей центрированной случайной величины 

,

Центральные моменты дискретной случайной величины вычисляют по формуле

,

для непрерывной величины — по формуле

,

Особое значение имеет центральный момент второго порядка, называемый дисперсией. Применяют обозначения: и .

,

Дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины относительно математического ожидания (центра распределения).

Свойства дисперсии:

1. ;

2. ;

3. , если  — независимые случайные величины.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться средним квадратическим отклонением (СКО, положительной величиной корня квадратного из дисперсии):

.

Задача 2.4. Случайная величина Х задана рядом распределения:

x	0	1	2	3
p	0,34	0,44	0,19	0,03

Найти её основные параметры: , , .

Решение: применяя формулы , и , имеем

;

Дисперсию можно найти и по формуле связи центральных и начальных моментов:

:

;

; .

Находим СКО: .

Задача 2.5. Найти основные параметры непрерывной случайной величины Х, закон распределения которой задан в условии задачи 2.3.

Решение: находим

.

; .

; , тогда .

3 Нормальный закон распределения

Случайная величина X с плотностью распределения вида

и графиком плотности, представленным на рис. 3.1, считается распределённой по нормальному закону.

Рис. 3.1 — Кривая плотности нормального закона

3.1 Нормальный закон и его основные параметры

Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный колоколообразный вид.

Применяя формулы , и , можно показать, что величины  а  и ², входящие в выражение , являются основными параметрами нормально распределённой случайной величины X: , .

При изменении параметра a кривая  , не изменяя своей формы, перемещается вдоль оси абсцисс. При изменении параметра  форма кривой изменяется (если , то параметру  соответствует более узкая в направлении оси ординат кривая, то есть меньший разброс значений x_i относительно параметра  , и более высокое положение вершины кривой).