4. Построение доверительного интервала, с заданной вероятностью накрывающего неизвестное истинное значение X

.

4.4 Порядок обработки ряда неравноточных измерений

Задача 4.3. Отметка узлового репера получена по шести ходам, известны средние квадратические ошибки по каждому ходу   (в мм). Найти наиболее надёжное значение отметки репера и произвести оценку точности.

Таблица 4.1
№	(м)	(мм)		(мм)			(мм)
1	196,529	6,3	0,25	+12	+3,00	+36,0	+1	+0,25	00,2
2	,522	8,4	0,14	+5	+0,70	++3,5	–6	–0,84	05,0
3	,517	9,1	0,12	+0	+0	++0	–11	–1,32	14,5
4	,532	4,3	0,54	+15	+8,10	121,5	+4	+2,16	08,6
5	,530	5,2	0,37	+13	+4,81	+62,5	+2	+0,74	01,5
6	,520	7,5	0,18	+3	+0,54	++1,6	–8	–1,44	11,5
			1,60		17,15	225,1		–0,45	41,3

Решение:

Веса вычисляем по формуле

,^)

где

1. Вычисление наиболее надёжного значения отметки репера:

,

, .

Вычисление уклонений от среднего весового , а также сумм , , непосредственно в таблице 4.1.

Контроль вычислений:

1. ; ;

2. ; .

Контроль выполнен.

2. Вычисление средней квадратической ошибки измерения с весом, равным единице

.

3. Вычисление средней квадратической ошибки наиболее надёжного значения:

.

Оценим надёжность определения  и :

;

.

Ответ: .

5 Оценка точности по разностям двойных измерений

В геодезии часто приходится измерять большие группы однородных величин, причём каждую величину для контроля измеряют дважды.

5.1 Двойные равноточные измерения

Пусть однородные величины измерены равноточно дважды и получены результаты измерений:

Составим разности по формуле

.

Наиболее надёжные значения определяемых величин находим по формуле:

.

Для оценки точности используем разности .

1. При отсутствии систематических ошибок разности d_i можно рассматривать как истинные ошибки самих разностей, так как истинное значение разностей равно нулю ( ).

Применяя к ряду  формулу Гаусса , находим:

.

Тогда средняя квадратическая ошибка отдельного результата измерений будет определяться по формуле:

.

Оценка точности наиболее надёжных значений определяется по формуле:

.

2. Если в результатах измерений присутствуют систематические ошибки, то величина

существенно отличается от нуля.

В этом случае из каждой разности необходимо исключить остаточное влияние систематических ошибок, т. е. получить разности

.

Рассматривая разности  как уклонения от среднего  , применяя формулу Бесселя, находим

.

Средние квадратические ошибки отдельного результата измерений и наиболее надёжных значений измеряемых величин находим по формулам:

,
.

Заметим, что в этом случае необходимо выполнить контроль вычислений по формулам

, где ; .

Для определения значимости отклонения от нуля применяют неравенство

,

где выбирают из таблиц Стьюдента по заданной вероятности и числу степеней свободы  , а при  коэффициент t выбирают из таблиц интеграла вероятностей по заданной вероятности  . Так, для  , и неравенство  принимает вид:

.

Иногда применяют более жёсткий критерий обнаружения систематических ошибок

,

который получен, исходя из требования .

Оценку точности начинают с проверки условия  или . Если, например, неравенство  выполняется, то делают вывод о том, что систематическими ошибками можно пренебречь и оценку точности следует выполнять по формулам (5.4–5.5).

Если неравенство  не выполняется, делают заключение о том, что систематическими ошибками пренебрегать нельзя, необходимо обработку вести по формулам (5.7, 5.9, 5.10).