5. 2. Критерій Вальда

Даний критерій є найбільш обережним, оскільки він грунтується на виборі альтернативи з усіх найгірш можливих. У зв'язку з цим критерій Вальда часто називають максиміним (мінімаксним).

Якщо результат V (а, , 8_у.) відображає втрати особи, що приймає

рішення, то для альтернативи аі найбільші втрати, незалежно від можливого стану 8^ будуть рівними тах^(а,, )}. Відповідно до

мінімаксного критерію найкращою вибирається альтернатива а_і, яка дає Я₂ = тіп тах{V(а,, 8_;.)}. Аналогічно в тому випадку, коли V(а,, 8_;.)

відображає виграш, відповідно до максиміного критерію, вибирається альтернатива а_А, яка дає Я₂ = тах тіп{V(а,, 8_;.)}.

Приклад 5.2. Користуючись критерієм Вальда, знайти розв'язок прикладу 5.1.

Розв 'язання.

Оскільки V(а., 8 ) відображає втрати, використаємо мінімаксний

критерій. Для знаходження найкращої альтернативи побудуємо таблицю.

Таблиця 5.2.

			8з		^5	тах{ґ(а і , 8^)}	^ т іп і
а1	4	22	15	16	29	29
й2	10	15	26	12	10	26
аз	8	19	6	24	5	24
а4	30	25	5	14	16	30
а5	15	5	30	22	9	30

К₂ = тіп{29;26; 24; 30; 30} = 24.

Отже, мінімаксною альтернативою буде а₃. Отриманий результат співпадає з результатом прикладу 5.1.

5. 3. Критерій Севіджа

Ж (, 8,

Використання критерію Вальда інколи приводить до суперечливих висновків. Розглянемо таку матрицю втрат (грн.).

V (а,,8>)=		Зі	32	тах і
	а1	50	210	210
	а2	150	200	200	^ тіп і

Користуючись критерієм Вальда, приходимо до вибору альтернативи а₂. Інтуїтивно проситься вибрати а₁, оскільки не виключено, що 8 = 8₁. Тоді втрати складуть тільки 50 грн. При виборі альтернативи а₂ втрати завжди будуть не меншими 150 грн.

Розглянемо критерій Севіджа, який грунтується на принципі мінімакса наслідків прийнятого помилкового рішення і старається мінімізувати втрачену вигоду. Його зміст полягає у формуванні нової матриці втрат Ж (а_г, 8.) з допомогою наступної формули:

тах^(а_к, 8_у)} - V(а _г, 8_у), якщо V(а ., 8_у) - прибуток V(а_к, 8_у)- тіп{(, 8_у)}, якщо V(а., 8_у)- втрати. ( )

Отримані значення показують величину ризику, тому критерій Севіджа називають критерієм мінімального ризику. У першому

випадку Ж (а,, 8_у.) є різницею найкращого значення в стовпці 8^ і

значенням V (а,, 8_у.). За змістом, Ж (а,, 8_у.) виражає «співчуття» особі,

що приймала рішення, в зв'язку з тим, що вона не вибрала найкращої дії відносно стану 8| .

У другому випадку Ж (а,, 8_у.) відображає різницю V (а,, 8_у.) та

найгіршого значення в стовпці 8| .

Незалежно від того, є V (а, , ) прибутком або втратами, функція

Ж (а,, ) в обох випадках визначає втрати. Тому до Ж (а,, ) слід

використовувати тільки мінімаксний критерій.

Отже, формула для вибору оптимальної альтернативи з допомогою критерія мінімального ризику набуває вигляду:

Я₃ = тіп тах Ж (а,, 8).

Приклад 5.3. Користуючись критерієм Севіджа, знайти розв'язок прикладу 5.1.

Розв язання. Відповідно до умови прикладу 5.1 матриця V(а,, 8 ) відображає втрати. Отже, для даного випадку має місце

формула

Ж(, 8_І) = V(а,, 8_І) - тіп(к(а,, 8 _і)}, к = 1,5.

Знайдемо числові значення

тіп{ (ак, 81)} = 4; тіп{К (а_к, 8 2)} = 5;

тіп{ (ак, 83)} = 6; тіп{ (ак, 8^)} = 12;.

тіп{ (а_к, 8 ₅ )} = 5, к = 1,5

к

Тоді шукана величина ризику Ж (а,, 8 ) приймає вигляд (табл. 5.3).

Таблиця 5.3.

		Зі	З2	Зз	З4	З5	тах {Ж(а,, 8^)}
	аі	0	17	10	4	24	24
ж (а,, 8/ )=	а2	6	10	21	0	5	21
	аз	4	14	1	12	0	14	^ тіп
	а4	26	20	0	2	11	26	і
	а5	11	0	25	10	4	25

Отримуємо, К₃ = тіп{24; 21; 14; 26; 25}= 14.

Отже, найкращою альтернативою знову виявилася а₃.

Розглянутий критерій досить часто використовується в практичній діяльності при прийнятті управлінських рішень на тривалий період. Наприклад: при розподілі капітальних вкладень на перспективу він дає добрі результати.