Тема №9 «Приемы в разработке ур в условиях неопределенности и риска»

Теоретически существуют 3(4) ситуации в которых проводится анализ и принимается УР, в условиях:

1. Определенности

2. Риска

3. Неопределенности

4. (Конфликта)

9.1 Принятие УР в условиях определенности.

Самый простой случай:

• Имеется несколько вариантов, используется метод прямого счета (смотри пример про кофе и мороженое).

• Число вариантов велико, используется математические методы.

9.2 Принятие УР в условиях риска.

На практике такая ситуация встречается очень часто. Известны вероятности, которые можно получить используя:

1. Типовые ситуации,

2. Распределение вероятностей (из статистики)

3. Субъективные, оценки сделанные экспертами.

Наиболее простой способ подачи информации - использование платежной матрицы:

А11 А12 … А1n

А21 А22 … А2n

… . ….. … …..

Аm1 Am2 … Amn

В качестве критериев используется:

1. Критерий Байеса(максимизация средняя ожидаемого эффекта, платежа)

В = max сумма Aij * Qj

В случае когда все вероятности одинаковы имеем

2. Критерий Лапласа Qj = 1|N

L = 1|N max сумма Aij т.е. это частные случай критерия Байеса

Придельная цена информации о риске находится по формуле.

Дельта В = В*ид. – В, где В*ид. = сумма max Aij * Qj

Графическое представление выбора УР в условиях риска предполагает использование метода «Дерева решений».

9.3 Принятие УР в условиях не определенности.

Основная трудность – невозможно оценить вероятность оценить исхода.

Рассматриваются частные критерии

1. Критерий Вальда (пессимизма, гарантийного выигрыша)

V – max(min Aij)

2. Критерий сверхоптимизма (азартного игрока)

M = max (max Aij)

Экономический смысл – Vi – гарантированный выигрыш по варианты Ai при любом состоянии природы.

Mi – vax возможный платеж по варианту Ai при любом состоянии природы.

3. Критерий Гурвица (писсимизма-оптимизма)

H = max [лямда Mi + (1- лямда) Vi]

Лямда – степень оптимизма [0;1]

Рекомендуется выбирать лямда = 0,3 (Кр)

4.Криетрий Сэвиджа (минимального риска или сожалений) - предварительно строиться матрица риска или сожаления по столбцам

S = min(max Rij)

Окончательно в качестве оптимального принимается тот вариант, который чаще встречается по этим 4 частным критериям

9.4 Принятие УР в условиях конфликта.

Наиболее сложный с точки зрения анализа случай, УР принимается на основе теории игр.

Игрой называется - совокупность действий лиц для достижения определенных целей в рамках установленных правил.

Игры бывают:

• Парные

• Множественные

Каждое действие игрока называется стратегией.

Чистой, если она выражает конкретное действие,

Смешанной, состоит из смесей чистых стратегий с указанием вероятности (частоты) применения каждой чистой стратегии.

Любая чистая стратегия характеризуется числовой мерой, платежом Aij, совокупность которых образует платежную матрицу, если интересны противоположны, то игра антагонистическая. Если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, то имеем игру с нулевой суммой.

Если каждый из игроков принимает выгодную для себя(не выгодную для противника) стратегию, то игра называется стратегической.

Если один игрок не противодействует другому – статистической или игра с природой.

Теория игр рассматривает, наиболее осторожное поведение игроков, результат игры носит рекомендательный характер. В дальнейшем будем рассматривать парные, матричные игры с нулевой суммой.

Обозначения.

Игрок 1 имеет чистые стратегии (строки) – Ai Вероятность их использовании pi сумма pi = 1

Игрок 2 чистые строки (столбцы) – Bj Вероятность использования qj сума qj = 1

Платеж aij – величина выигрыша для игрока 1, проигрыша для игрока 2, при использования ими чистых стратегий Ai (1) Bj (2)

Платежная матрица:

	В1	В2		Bn
A1	A11	A12		A1n	P1
A2	A21	A21		A2n	P2
Am	Am1	Am2		Amn	Pm
	Q1	Q2		Qn

Задача

1. Определить для Игрока1 частость использования (Pi) чистой стратегии Ai,

2. Для Игрока2 частость использования (Qj) чистых стратегий Bj

3. Цену игры V: выигрыш для Игрока1 или проигрыш Игрока2

Алгоритм решения стратегической игры с нулевой суммой.

1. Определяем наличие седловой точки.

Вычисляем V1 = max(minAij) – нижняя цена игры

V2 = min(maxAij) – верхняя цена игры

V1 = V2 = V, то имеем игру чистых стратегий или с седловой точкой.

Такая ситуация случается редко. [9.9]

Решение закончено, если седловой точки нет (V1 = V2), то сокращаем размеры матричной игры.

Чистые стратегии, строки для A1 и ли столбцы A2 могут быть

• Дублирующие (одинаковые строчки или столбцы)

• Доминирующие

Для А1 для любого j Akj больше или равно Alj? То стратегия Ак является доминирующей для стратегии Al

Для А2 тоже самое только столбцы, вычеркиваем столбец который меньше всех!!!

Смешенные – все остальные, которые остались.

Сводим задачу теории игр к задачи ЗЛП (Задача Линейного Программирования).

Сказка.

Жил-был старик у самого синего моря и ловил рыбку: В1 – большая, В2 – средняя, В3 – маленькая.

Проблема, какую использовать наживку – А1 – хлеб, А2 – червяк, А3 – голый крючок.

По статистике старика улов при различных наживках представлен в таблице

	В1	В2	В3	Альфа
А1	5	4	3	2
А2	4	7	7	4* max
А3	0	1	0	0
БИ	5*	7	7

Задача, какую наживку должен использовать старик, что бы максимизировать свой улов (V), а также как должна вести себя рыба, что бы минимизировать этот улов (V)/

Применяем алгоритм матричной игры с нулевой суммой.

1. Наличие седловой точки?

V1 = max(minAij) = 4

V2 = min(maxAij) = 5

Между 4 и 5 ответ!

Седловой точки нет!

2. Сравниваем А1 и А3 и вычеркиваем А3!

В2 вычеркиваем потери больше!

Приводим в ЗЛП

Однако для задачи 2Х2 можно решить проще:

	В1	В3
А1	5	3	2, 3\5
А2	4	7	3, 2\5
Разница по модулю	1, 4\5	4, 1\5

Цена игры:

В1 : V = 5*3\5+4*2\5 = 4,6

В3 : V = 4,6

А1 : V = 4,6

A2 : V = 4,6

Решение:

Рыбак их каждых пяти попыток использует 3 раза хлеб и 2 раза червяк.

Рыба должны кушать по следующей схеме 4 крупных, средняя не участвую, и одна маленькая.

Результат – улов для старика 4,6 кГ потеря косяка 4,6.

Замечание – если они будут отклоняться от своих оптимальных стратегий для старика улов уменьшится, а для рыбы потери больше в другой ситуации.