- •Глава 1. Дифференциальное исчисление функции многих переменных §1. Понятие функции нескольких переменных
- •Пространство и множества в пространстве
- •Определение функции нескольких переменных
- •Линии и поверхности уровня
- •Предел функции в точке
- •Непрерывность функции. Точки разрыва
- •§2. Дифференцирование функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции нескольких переменных
- •2. Дифференцируемость функции двух переменных
- •3. Дифференцирование сложной функции
- •4. Дифференциал функции двух переменных
- •Дифференцирование функции одной и двух переменных, заданных неявно
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Аналитический признак полного дифференциала
- •§3. Производная по направлению и градиент
- •1. Производная по направлению
- •2. Градиент и его свойства
- •§4. Экстремумы функций нескольких переменных
- •Экстремумы функций двух и трёх переменных
- •Условный экстремум
- •Глава 2. Интегральное исчисление функции нескольких переменных § 1. Двойной интеграл
- •Геометрическая задача, приводящая к понятию двойного интеграла
- •3. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4. Основные свойства двойного интеграла
- •Геометрический смысл теоремы о среднем значении двойного интеграла
- •5. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •Двойной интеграл в полярной системе координат
- •7. Интеграл Эйлера–Пуассона
- •8. Некоторые приложения двойного интеграла
- •§2. Тройной интеграл
- •1. Определение тройного интеграла
- •2. Физический и геометрический смысл тройного интеграла
- •3. Основные свойства тройного интеграла
- •4. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •Основные свойства криволинейного интеграла I рода
- •2. Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
- •Свойства криволинейного интеграла II рода
- •2.2. Физический смысл криволинейного интеграла II рода
- •2.3. Вычисление криволинейного интеграла II рода
- •3. Формула Грина
- •4. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования (случай на плоскости)
- •5. Потенциальное поле, потенциальная функция и её вычисление
- •6. Вычисление криволинейного интеграла, независящего от пути интегрирования
- •§ 4. Поверхностные интегралы
- •1. Поверхностный интеграл I рода
- •2. Поверхностный интеграл II рода
- •3. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса–Остроградского
- •4. Ротор (вихрь) векторного поля. Теорема Стокса
Дифференцирование функции одной и двух переменных, заданных неявно
Определение 6
Пусть дано уравнение . Считается, что функция задана неявно в области уравнением , если для
любого значения найдётся одно число – такое, что
.
Теорема 7 (дифференцирование функции одной переменной, заданной неявно)
Пусть функция задана неявно уравнением , где функция дифференцируема в точке и . Тогда существует производная .
Доказательство: Если для и , то
⇒ ⇒ , так как
Что и требовалось доказать.
Определение 7
Пусть дано уравнение . Считается, что функция задана неявно в области уравнением , если для любой пары найдётся одно число такое, что .
Теорема 8 (дифференцирование функции двух переменных, заданных неявно)
Пусть функция задана неявно уравнением , где функция дифференцируема в точке и . Тогда существуют частные производные функции , по х и у, которые равны:
и .
Доказательство: Из определения неявного задания функции
⇒ .
Поэтому
⇒ ⇒ ,
так как .
Что и требовалось доказать.
Аналогично выводится формула для .
Частные производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция в каждой точке некоторой области имеет частные производные Они представляют собой функции двух переменных. Производные от этих функций, если они существуют, называются частными производными второго порядка и обозначаются:
,
,
,
.
Частные производные второго порядка вида и называют смешанными производными.
Теорема 9 (о равенстве смешанных производных)
Пусть в области существуют смешанные производные
и в точке они непрерывные. Тогда .
Замечание 2. Аналогично определяются частные производные второго, третьего и т.д. порядков. И смешанные производные в точках их непрерывности тоже равны. Определенный в пункте 4 дифференциал для функции : называют дифференциалом первого порядка. Пусть функции дифференцируемы в некоторой области . Тогда в этой области определен и дифференциал второго порядка: , если непрерывны в области D.
Аналитический признак полного дифференциала
Теорема 10 (аналитический признак полного дифференциала)
Чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции для , необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
непрерывны в области
.
Необходимость. Дано: непрерывны в области и существует функция для которой
.
Доказать, что для .
Доказательство: Так как , то
Тогда
= , = .
Так как по условию 1 и непрерывны в области то непрерывны
и ⇒ .
Что и требовалось доказать.
Достаточность. Дано: и непрерывны в области и для .
Доказать, что существует функция для которой
.
Доказательство: Проверим, можно ли найти функцию сли и выполнены условия теоремы
(1)
. (2)
Из (1) следует: если у =const. Тогда
(3)
Приравнивая (2) и (3) получим:
(4)
так как по условию теоремы.
Следовательно:
т.е. не зависит от х.
⇒
Значит, функцию можно найти из условий теоремы и выражения (1):
Что и требовалось доказать.