§4. Экстремумы функций нескольких переменных

1. Экстремумы функций двух и трёх переменных

Определение 1

Точка называется точкой максимума функции , если для любых точек , принадлежащих окрестности точки , выполняется неравенство: .

Определение 2

Точка называется точкой минимума функции , если для любых точек , принадлежащих окрестности точки , выполняется неравенство: .

Определение 3

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума)

Если точка является точкой экстремума функции , то её частные производные в точке равны нулю или не существуют.

При доказательстве теоремы 1 используются определения частных производных и теорема о необходимых условиях экстремума функции одной переменной.

Замечание 1. Аналогично формулируются определения 1 и 2 и теорема 1 для функции трёх и более переменных.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума функции двух переменных)

Если функция дважды дифференцируема в критической точке и её окрестности и определитель , то в точке есть экстремум. Причём, если , то точка является точкой минимума функции, а если , то точка является точкой максимума. Замечание 2. Если определитель , то в точке нет экстремума, при этом точку называют седловой точкой. Если , то вопрос об экстремуме в точке остаётся нерешённым, нужны исследования функции по её производным более высокого порядка.

Теорема 3 (достаточные условия экстремума функции трёх переменных)

Пусть функция дважды дифференцируема в критической точке и её окрестности. Определитель имеет все главные диагональные миноры , , положительные, то –точка минимума функции . Если , и , то точка – точка максимума функции .

Замечание 3. Если  критическая точка функции и , но не выполняются условия теоремы 3, то в точке нет экстремума, при этом точка называется седловой точкой. Если все , то вопрос об экстремуме в точке решается с помощью производных более высокого порядка.

Пример 1. Найти экстремумы функции: .

Решение. ; .

.

Получили две точки и

; ;

а) Исследуем точку :

; ; .

Тогда точка не является точкой экстремума.

б) Исследуем точку :

; ; .

Тогда точка является точкой экстремума. Причём так как , то точка является точкой минимума функции:

.

Ответ:

2. Условный экстремум

Пусть задана функция на множестве . Требуется найти экстремумы функции , если и связаны некоторым условием , называемым уравнением связи.

Определение 4. Точка называется точкой условного экстремума функции при выполнении дополнительных условий – уравнений связи.

Для нахождения точек условного экстремума существует два метода: метод прямого отыскания и метод Лагранжа. Прямой метод состоит в том, что из уравнения связи выражается одна из переменных через другую, и её подставляют в функцию . Получают функцию одной переменной, для которой и решают задачу нахождения обычного экстремума. Такой метод применяют тогда, когда удаётся из уравнения связи выразить одну переменную через другую.

Пример 2. Найти условный экстремум функции при условии Решение. Используем метод прямого отыскания точек условного экстремума. Из условия выразим и подставим его в функцию . Тогда

Найдём для функции обычный экстремум.

,

– + x

Следовательно, – точка минимума функции .

Подставляем в функцию и получим:

.

Ответ: .

Определение 5. Функция называется функцией Лагранжа, а коэффициент λ – множителем Лагранжа.

Замечание 4. Если связи не одно уравнение, а несколько (например, ), то функция Лагранжа для функции записывается с множителями Лагранжа:

Теорема 4 (необходимое условие поиска условного экстремума)

Пусть функции и , дифференцируемые в точке а является точкой условного экстремума функции при условии . Тогда найдется такое число , при котором точка является критической для функции Лагранжа .

Метод Лагранжа поиска условного экстремума состоит в следующем:

1) составляют функцию Лагранжа ;

2) находят её частные производные по ;

3) приравнять частные производные к нулю и решают систему уравнений

;

4) исследуют найденную в результате решения системы точку при найденном значении и решают задачу обычного экстремума для .

Теорема 5 (достаточное условие поиска условного экстремума для случая одного уравнения связи)

Пусть точка и найдены из решения системы .

Пусть определитель .

Если , то функция имеет в точке условный максимум.

Если , то функция имеет в точке условный минимум.

Пример 3. Методом Лагранжа найти условный экстремум для функции при условии . Решение. Составим функцию Лагранжа

.

Найдём её частные производные по :

при .

Выясним характер точки по теореме 5:

; ; ; ; .

Составим определитель:

.

Так как , то – точка условного минимума.

.

Ответ: .