62. Авторегресійні моделі ( ar(p)- процеси).

Модель авторегресії описує стаціонарний процес, де значення показника є лінійною комбінацією обмеженої кіль­кості своїх попередніх значень і випадкової складової. Наприклад, процес можна відобразити таким чином:

, (2.3.1)

де випадкова складова - білий шум. Модель містить ( ) невідомі параметри: - дисперсію випадкової складової та коефіцієнтів моделі.

Необхідною та достатньою умовою стаціонарності процесу є те, що всі корені характеристичного рівняння для процесу перебувають у межах кола одиничного радіусу.

Процеси та мають певну схожість. Але процес завжди стаціонарний, і умова обернена лише забезпечує йому певну корисну властивість. Для ця умова дуже жорстка: або процес стаціонарний і зводиться до , або він не стаціонарний.

Умова, що всі корені рівняння за модулем не перевищують одиницю, еквівалентна тій, що граничні значення та прагнуть до нуля за необмеженого зростання .

Для одержання співвідношень для основних характеристик моделі помножимо ліву та праву частини (2.3.1) на :

і взявши математичне сподівання, одержимо рекурентне співвідношення для автоковаріацій:

(2.3.3)

Поділивши всі складові (2.3.3) на , побачимо, що автокореляції задовольняють аналогічне співвідношення:

або , , (2.3.4)

а дисперсія процесу має вигляд:

.

Зазначимо, що рівняння для подібне до рівняння, яке задовольняє сам процес . Із цих рівнянь виходить, що всі автокореляції у моделі визначаються першими автокореляціями ; також ними визначаються параметри . Щоб виразити через , візьмемо рівняння (2.3.4) для і, враховуючи, що (кореляція часового ряду із самим собою) та для будь-якого , побудуємо лінійну систему для обчислення коефіцієнтів моделі:

або в матричній формі ,

де R — невироджена автокореляційна матриця часового ряду

, , .

Отриману систему рівнянь називають системою Юла-Вокера. З неї визначають параметри -моделі:

.

63. Моделі ковзного середнього (ma(q)- процеси).

Стохастичний процес називають процесом ковзної середньої порядку , якщо до загальної моделі (2.1.1) входять лише складових. Позначимо коефіцієнти обмеженого ряду MA( ) літерою b, тоді модель ковзної середньої порядку має вигляд:

, (2.2.1)

де випадкова величина - білий шум, — лінійний оператор, та ( ) невідомих параметрів треба оцінити на підставі вибіркових спостережень.

Процес (2.2.1) - стаціонарний, оскільки є окремим випадком загальної лінійної моделі, а саме, включно до j = q дорівнюють , решта дорівнюють нулю.

Операторний багаточлен можна розкласти на множники, використовуючи корені рівняння . Отже, лінійний оператор можна записати у вигляді:

,

де - корені рівняння .

- процес, відповідно, має вигляд:

.

За умови оберненості кожен скінченний MA( )-процес може бути представлений у вигляді нескінченного авторегресійного процесу:

Автоковаріація та дисперсія MA( ) процесу відповідно дорівнюють:

.

.

Автокореляційна функція процесу має вигляд

, для .

Автокореляційну функцію використовують для визначення порядку MA( )-процесу.