37. Поняття про гомо- та гетероскедастичність залишків.

Якщо дисперсія залишків стала для кожного спостереження, тобто , то ця її властивість називається гомоскедастичністю.

Часто у практичних дослідженнях явище гомоскедастичності залишків порушується. Наприклад, будуючи економетричну модель, що характеризує залежність між заощадженнями і доходами населення на підставі теоретичної та практичної інформації, можна висунути гіпотезу, що дисперсія залишків за окремими групами населення змінюватиметься і буде пропорційною до середнього доходу цієї групи. Коли розглядати економетричну модель, що характеризує залежність між депозитними вкладами і розміром прибутку клієнтів банку або між витратами на харчування і доходом на одного члена сім’ї, витратами на харчування і загальними витратами, то також можна припустити, що дисперсія залишків для окремих груп спостережень змінюватиметься. У цих залежностях пояснювальна змінна може різко змінюватись, а динаміка залежної змінної буде досить помірною, не адекватною до зміни пояснювальної змінної. Це і приводить до зміни дисперсії залишків кожного спостереження або ж груп спостережень.

Якщо дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, тобто , то це явище називається гетероскедастичністю.

38. Негативні наслідки наявності гетероскедастичності залишків в лінійних моделях.

За наявності гетероскедастичності оцінки параметрів, отримані 1МНК, як правило, залишаються незміщеними, обґрунтованими, але неефективними.

Нагадаємо, що дисперсія оцінок параметрів простої лінійної моделі визначається так:

;

.

У цих співвідношеннях дисперсія залишків є сталою, тому вона винесена за знак суми. За гетероскедастичності дисперсія буде змінюватись через зростаючий розкид значень залишків, тобто вона зростатиме. Це означає, що буде зростати дисперсія оцінок параметрів моделі, яка приводить до збільшення їхніх стандартних похибок.

Дисперсія оцінки у разі гетероскедастичності запишеться так:

Порівнюючи обидва співвідношення дисперсій оцінок , бачимо, що , тобто дисперсія оцінки параметра за гетероскедастичності більша, ніж дисперсія цієї оцінки за гомоскедастичності.

Звідси інтервали довіри оцінок параметрів моделі також будуть більшими. Як наслідок, F та t-критерії дають неточні результати.

Таким чином, якщо не звертати увагу на гетероскедастичність і використовувати звичайні процедури перевірки гіпотез, то висновки будуть неправильними, тобто потенційно гетероскедастичність є серйозною проблемою.

39. Тест Гольдфельда-Квандта. Послідовність його виконання.

Параметричний тест Гольдфельда-Квандта. У випадку, коли сукупність спостережень невелика, розглянутий вище метод застосовувати недоцільно.

У такому разі Гольдфельд і Квандт запропонували розглянути випадок, коли , тобто дисперсія залишків зростає пропорційно до квадрата однієї з незалежних змінних моделі:

Y = XA + u.

Для виявлення наявності гетероскедастичності згадані вчені склали параметричний тест, в якому потрібно виконати такі кроки.

Крок 1. Упорядкувати спостереження відповідно до величини елементів вектора X_j.

Крок 2. Відкинути c спостережень, які містяться в центрі вектора. Ця процедура дасть змогу порівняти дисперсії залишків для найменших та найбільших значень пояснювальної змінної. Згідно з експериментальними розрахунками автори знайшли оптимальні співвідношення між параметрами c і n для 30—60 спостережень, де n — кількість елементів вектора :

.

Крок 3. Побудувати дві економетричні моделі на основі 1МНК за двома утвореними сукупностями спостережень обсягом , за умови, що обсяг і перевищує кількість змінних m. Якщо то відкидається перше або останнє спостереження сукупності.

Крок 4. Знайти суму квадратів залишків за першою і другою моделями і :

,

де — залишки за моделлю (1);

,

де — залишки за моделлю (2).

Крок 5. Обчислити критерій

, який у разі виконання гіпотези про гомоскедастичність відповідатиме F-розподілу з , ступенями свободи. Це означає, що обчислене значення R^* порівнюється з табличним значенням F-критерію для ступенів свободи і і вибраним рівнем значущості . Якщо , то гетероскедастичність відсутня.