40. Алгоритм теста Глейсера.

Ще один тест для перевірки гетероскедастичності запропонував Глейзер. Він розглядає регресію модуля залишків , що відповідають регресії найменших квадратів, як певну функцію від , де — та незалежна змінна, яка відповідає зміні дисперсії . Для цього використовуються такі види функцій:

1) ; 2) ;

3) 4) .

У цих рівняннях — стохастична складова.

Рішення про відсутність гетероскедастичності залишків приймається на підставі статистичної значущості коефіцієнтів і Переваги цього тесту визначаються можливістю розрізняти випадок чистої і мішаної гетероскедастичності.

Можливі чотири випадки:

1. є статистично значущими;

2. — статистично значуща, — статистично незначуща оцінка;

3. — статистично значуща, — статистично незначуща оцінка;

4. — статистично незначущі.

У першому випадку залишки гетероскедастичні, причому існує чиста і мішана гетероскедастичність. У другому випадку залишки мають мішану гетероскедастичність. Третій випадок свідчить про наявність чистої гетероскедастичності. У четвертому випадку гетероскедастичність відсутня.

41. Перевірка наявності гетероскедастичності залишків на основі теста коефіцієнта рангової кореляції Спірмена.

Наявність чистої гетероскедастичності в сукупності спостережень можна виявити, розрахувавши рангові коефіцієнти кореляції Спірмена. На базі коефіцієнта Спірмена побудовано відповідний тест, алгоритм якого полягає в реалізації таких кроків:

Крок 1. Побудова простих економетричних моделей 1МНК залежної змінної (Y) з кожною з пояснювальних змінних (Х_j).

Крок 2. Визначення вектора залишків для кожної з побудованих моделей (u_j).

Крок 3. Ранжування вектора кожної пояснювальної змінної (Х_j) і кожного з векторів від меншого до більшого та заміна компонентів цих векторів їхніми рангами.

Крок 4. Визначення коефіцієнта рангової кореляції Спірмена за формулою:

,

де d_ij — різниця між рангами x_ij та ;

n — кількість спостережень; m – 1 — кількість пояснювальних змінних.

Крок 5. Розраховується t-статистика для визначення рівня статистичної значущості кореляції Спірмена за формулою:

.

Доведено, що ця характеристика має закон розподілу Стью- дента з кількістю ступенів свободи .

Якщо розраховане значення t-статистики перевищує критичне значення при ступені свободи n – 2 та вибраному рівні значущості , то гіпотезу про наявність гетероскедастичності потрібно прийняти. У протилежному випадку вона відхиляється.

42. Узагальнений метод найменших квадратів для моделі з гетероскедастичністю залишків.

Економетрична модель, якій притаманна гетероскедастичність, є узагальненою моделлю, і для оцінювання її параметрів слід скористатися узагальненим методом найменших квадратів.

Нехай задано економетричну модель

коли

Розрахункова модель запишеться так:

Задача полягає в знаходженні оцінок елементів вектора в моделі. Для цього використовується матриця S, за допомогою якої коригується вихідна інформація. Цю ідею було покладено в основу методу Ейткена.

Базуючись на особливостях матриць Р і S,можна записати співвідношення між цими матрицями та оберненими до них.

Оскільки S — додатно визначена матриця, то її можна записати як добуток , де матриця P є невиродженою, тобто:

коли

_7.12

і

.

Помноживши рівняння (7.12) ліворуч на матрицю дістанемо:

Позначимо:

Тоді модель матиме такий вигляд:

(7.17)

, тобто модель (7.17) задовольняє умови, коли параметри моделі можна оцінити на основі 1МНК.

Звідси

(7.18)

Ця оцінка є незміщеною лінійною оцінкою вектора , який має найменшу дисперсію і матрицю коваріацій

(7.19)

Незміщену оцінку для дисперсії можна дістати так:

(7.20)

Оцінка параметрів , яку знайдено за допомогою (7.18), є оцінкою узагальненого методу найменших квадратів (методу Ейт­кена).

Коли задано матрицю S, оцінка параметрів моделі обчислюється згідно із (7.18), а стандартна похибка — згідно з (7.19). Тому можна сконструювати звичайні критерії значущості і довірчі інтервали для оцінок параметрів .

Визначивши залишки і помноживши ліворуч на матрицю дістанемо:

,

або

.

Звідси

Тоді .

Оскільки

то (7.21)

Отже, ми розбили загальну суму квадратів для (7.17) на суму квадратів регресії і залишкову. За цими даними дисперсійний аналіз буде виконано для перетворених вихідних даних. Модель узагальненого методу найменших квадратів іноді специфікується у вигляді

(7.22)

де — відома симетрична додатно визначена матриця. Тоді вираз для оцінки параметрів згідно з методом Ейткена запишеться так:

,(7.23)

а для її коваріаційної матриці

.