Стаціонарні та нестаціонарні часові ряди. Основні характеристики часових рядів.
Динамічні ряди, характер яких не змінюється з часом, мають назву стаціонарних.
Стаціонарність часового ряду пов’язана з вимогою того, що він має стале середнє значення, і його рівні коливаються навколо цього середнього зі сталою дисперсією, тобто для стаціонарних рядів справджується рівність m(t) = const; D(t) = const; автокореляційна функція r(τ) визначається як
тобто вона в стаціонарному процесі є функцією одного аргументу - проміжку τ між двома моментами часу, не розрізняючи, де за часом розташовується цей проміжок.
Отже, властивості стаціонарного ряду не змінюються з часом, за яким починається рахунок його рівнів.
Припустимо, що нам потрібно змінити значення ряду yt на yt+s, де s - стале число. Якщо ряд вважається стаціонарним, то середнє, дисперсія і значення варіації ряду дисперсії yt+m мають бути такими ж, як і для yt. Якщо ж ці показники змінюватимуться з часом, то ряд буде нестаціонарним. Його легко зводять до стаціонарного, застосовуючи певні математичні перетворення, наприклад оператор різниць.
Тест Дікі-Фулера.
Критерій Дікі-Фулера.
Діагностика стаціонарності: простий (DF) та розширений (ADF) тест Дікі-Фулера
Основа тесту – регресія виду
∆Yt = a0 + a1t + bYt-1 + Sum(ci∆Yt-i) + ei, де
∆Yt = Yt - Yt-1.
Якщо всі сі = 0, то DF-тест, інакше – ADF-тест.
На практиці к-сть лагів для ADF-тесту не більше 10% від спростережень.
Гіпотези:
Н0: b = 0, часовий ряд є нестаціонарним, Yt ~ I(d), d>0 (d – порядок інтеграції);
H1: b < 0, часовий ряд є стаціонарним, Yt ~ I(0), тобто має порядок інтеграції 0.
Гіпотеза Н0 відкидається, якщо отриманий коефіцієнт b < 0 та t-статистика по модулю більша за абсолютну величину критичного значення статистики МакКіннона для тестування наявності одиничного кореня при заданому рівні значимості α.
| t-stat | = | b/SE(b) |;
| t-stat | > | tcritical | - Н0 відкидається, дані є стаціонарними.
Критерій Дікі-Фуллера фактично припускає, що спостережуваний ряд описується моделлю авторегрессії першого порядку (можливо, з виправленням на лінійний тренд).
Критичні значення залежать від того, яка статистична модель оцінюється і яка ймовірнісна модель в дійсності породжує значення, що спостерігаються. Якщо ряд має детермінований лінійний тренд
SM: Δxt=φxt-1+ά+βt+εt, t=2,.....,T
DGP: Δxt= ά+εt, t=2,.....,T ά≠0
В обох випадках εt незалежні випадкові величини, що мають однаковий нормальний розподіл з нульовим матиметичним очікуванням. Методом найменших квадратів оцінюються параметри даної SM і обчислюється значення звичайної t-статистики tφ для перевірки гіпотези H0:φ=0. Отримане значення порівнюється з критичним рівнем tcrit, розрахованим у припущенні, що ряд, що спостерігається, у дійсності породжується даною моделлю DGP (випадкове блукання зі зносом). DS-гіпотеза відкидається, якщо tφ < tcrit.