31. Оцінювання параметрів моделі з фіктивними змінними.

Якщо в економетричну модель введено фіктивні змінні так, як у правій частині рівняння (5.3), то застосування звичайної процедури побудови моделі 1МНК, що автоматично визначає вільний член, призведе до порушення процесу оцінювання.

Так, будуючи матрицю пояснювальних змінних, ми маємо включити до неї перший стовпець, який містить n одиниць. Це означає, що перші три вектори матриці Х будуть лінійно залежними, оскільки, додавши другий вектор матриці Х до третього (фіктивні змінні), дістанемо перший.

Звідси випливає, що матриця буде виродженою. Проте коли інші пояснювальні змінні комбінуються з фіктивними, то за рахунок неточності обчислень (навіть за допомогою ПЕОМ) визначник матриці може не дорівнювати нулю. Тоді буде знайдено всі кількісні характеристики взаємозв’язку, але вони суперечитимуть апріорному змісту і будуть далекі від реальних.

Якщо економетрична модель має містити вільний член, то єдиний вихід — скористатися іншою специфікацією моделі:

де

Записавши цю модель через умовні математичні сподівання, дістанемо:

Порівнюючи цей результат з попереднім, бачимо, що  — це вільний член для моделі холодного періоду, а   — вільний член для моделі теплого періоду року і відповідно  — це оцінка параметра, що характеризує різницю між вільними членами моделей для холодного та теплого періодів.

32. Порівняння двох регресійних моделей. Тест Чоу.

Нерідко на практиці ми стикаємося всього лише з двома групами даних (s = 2). Доти, доки кількість спостережень у кожній групі перевищує кількість оцінюваних параметрів, запропонований підхід можна застосувати безпосередньо. Якщо ж в одній із груп кількість спостережень менше кількості параметрів, то цей випадок потребує особливого дослідження.

Підхід Чоу передбачає три етапи.

1. За основною вибірковою сукупністю спостережень n₁ будуємо 1МНК оцінки параметрів моделі і знаходимо вектор залишків , а далі — суму квадратів цих залишків

,

де — вектор залежної змінної розміру n₁ × 1;

— матриця пояснювальних змінних розміру , де r — кількість пояснювальних змінних моделі.

2. За об’єднаною (загальною) вибірковою сукупністю спостережень будуємо 1МНК-оцінки параметрів моделі і знаходимо вектор залишків моделі , а потім — суму квадратів цих залишків:

,

де Y — вектор залежної змінної розміру n  1;

X — матриця пояснювальних змінних розміру n  (r + 1).

3. Обчислюємо -критерій за формулою:

.

Якщо справедлива нульова гіпотеза Н₀, критерій повинен бути випадковою величиною, яка розподілена за законом Фішера зі ступенями свободи n₂ і (n₁ – r – 1). Тому якщо (n₂, n₁ – – r – 1) і розмір груп спостережень у кожній вибірці такий, що не дає змоги побудувати окремі 1МНК-оцінки за кожною з вибірок, то можна дістати ще вектор залишків і відповідно знайти суму квадратів цих залишків:

,

де — вектор залежної змінної за другою групою n₂ розміру n₂  1;

X⁽²⁾ — матриця пояснювальних змінних розміру .

Тоді для визначення регресійної однорідності доцільно використовувати критерій , який обчислюється так:

.

Цей критерій за припущенням про правильність нульової гіпотези також має бути випадковою величиною і мати F-розподіл. Порівнявши його з табличним значенням F-критерію за вибраного рівня значущості та ступенів свободи і , можна прийняти чи відхилити нульову гіпотезу. Якщо ₁ > F_{ крит}, то нульову гіпотезу про регресійну однорідність треба відхилити, у протилежному випадку її потрібно прийняти.