11 Випадкові похибки вимірювання: теорема розподілу. Оцінка допустимих меж похибок вимірювання.

IНТЕГРАЛЬНИЙ ЗАКОН РОЗПОДIЛУ

Інтегральним законом розподілу ВВ (ВСП) називають функцію ймовірності F(x), значення якої для кожного значення х , вибраного на осі абсцис, визначається тим, що результат спостереження Х в і-тому досліді приймає значення менші за х, що з точки зору теорії ймовірності записується так:

F(x) = P(Х . x ) = P( -. < X ≤ x). (3.21)

Ця функція розподілу F(x) існує для всіх ВВ (ВСП), як дискретних так i

безперервних і є універсальною характеристикою ВВ (ВСП).

Графік функції розподілу F(x) у загальному випадку є графіком неспадаючої ня якої починається від 0 на -. та доходить до 1 на +. і має S - подібну форму (рис.3.3).

ДИФЕРЕНЦIЙНИЙ ЗАКОН РОЗПОДIЛУ

Якщо є безперервна (3.22) випадкова величина Х із функцією розподілу F(x), то можемо вирахувати ймовірність Р попадання цієї ВВ Х на відрізку від х до х+D х: P( x < X < x + D x) = F ( x + D x) - F(x),

тобто, імовірність дорівнює приросту функції розподілу F(x) на цьому відрізку.

lim Dx®0 {[ F(x+D x) - F(x)] / D x} = F'(x) = P(x). (3.23)

Введене позначення функції P(x) – похідної від функції розподілу F(x)

характеризує густину, з якою розподіляється значення випадкової величини Х в даній точці.

Функція P(x) називається густиною розподілу, або по іншому: "густиною ймовірності" безперервної випадкової величини Х, або диференціальною функцією розподілу, або диференціальним законом розподілу.

Графік, який відтворює густину розподілу Р(х) випадкової величини,

називається кривою розподілу, яка може бути як для випадкової складової похибки ВСП (рис. 3.4,а), так і для результатів вимірювання РВ 3.4,б).

Криві розподілу мають різний вигляд (основні показані на рис. 3.5:

трикутний, трапецієвидний, рівномірний і інші), який залежить від кількості впливаючих на подію ( щоб вона відбулася чи ні) факторів та вiд значення цих факторів.

У більшості криві розподiлу мають форму, яка близька до дзвоноподiбної (рис. 3.6) і відповідають нормальному закону розподілу.

Геометрично ймовірність F(x) є, не що інше, як площина під кривою

розподілу Р(x), яка лежить лівіше тачки х.

Розмірності основних характеристик випадкової величини:

1. Функція інтегрального розподілу F(x), як усяка ймовірність є величиною без розміру.

2. Розмірність густини розподілу P(x) - є обернена розмірності випадкової величини.

ПРИЗНАЧЕННЯ ЧИСЛОВИХ ХАРАКТЕРИСТИК РОЗПОДІЛУ

I так, ми познайомились із двома законами розподілу, які надають повну

характеристику випадкових величин (випадкових похибок): це функція

розподілу F(x) та густина розподілу Р(x). Вони описують повністю випадкову величину Х із точки зору теорії ймовірності.

Але на практиці в багатьох випадках немає необхідності характеризувати випадкову величину повністю, вичерпуючим чином. Інколи достатньо привести тільки окремі числові характеристики розподілу, до яких відносяться їх два різновиди – це:

1) числові характеристики середніх, до яких відносяться: математичне

сподівання, медіана та мода розподілу. Вони показують на деяке середнє, орієнтовне значення, біля якого групуються всі можливі значення випадкової величини (похибки);

2) моменти розподілу, які є параметрами законів розподілу і до яких

відносяться початкові та центральні моменти s –ного порядку.

Ці різновиди числових характеристик найбільш компактно, у стислій формі, з використанням мінімального числа параметрів - виражають суттєвіособливості розподілу і використовуються при оцінці випадкових похибок.