Выводы и комментарии

1. В рассмотренных трех задачах с двумя конкурирующими взаимодействиями явно проявляется физический смысл безразмерных параметров, определяющих отношение масштабов времен, характерных для каждого из взаимодействия.

2. Значение безразмерного параметра определяет вид потенциальной энергии и, тем самым, характер движения.

3. У параметра может существовать некое критическое значение, обычно близкое к единице. В разных областях значений параметра по обе стороны критического значения движение носит качественно различный характер.

Вопросы для самоконтроля

1. Запишите функцию Лагранжа задачи 13 в общем и безразмерном виде. Поясните роль и физический смысл безразмерного параметра.

2. Запишите уравнение движения задачи 13, следующее из уравнения Лагранжа.

3. Проведите полный анализ потенциальной энергии в задаче 13. Поясните характер движения при различных значениях безразмерного параметра и различных начальных условиях.

4. Как выглядят фазовые портреты задачи 13 при ω < ω_cr и ω > ω_cr?

5. Как определяется период нелинейных колебаний?

6. Определите частоты гармонических колебаний задачи 13 вблизи устойчивых положений равновесия при различных значениях безразмерного параметра.

7. Запишите функцию Гамильтона и уравнения движения в форме канонических уравнений задачи 13.

8. Запишите и решите уравнение Гамильтона-Якоби задачи 13, получив полный интеграл и закон движения. Как выглядит закон движения в канонических переменных?

1 В некоторых случаях задача с двумя взаимодействиями может оказаться задачей без параметров. Например, задача о падении с парашютом. В ней участвуют два взаимодействия – поле тяжести и вязкость. Масштабируйте и решите эту задачу самостоятельно.