Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
задачи по момссу (4).docx
Скачиваний:
2
Добавлен:
18.09.2019
Размер:
367.63 Кб
Скачать

Вопросы для самоконтроля

  1. Запишите функцию Лагранжа задачи 12 в общем и безразмерном виде. Поясните роль и физический смысл безразмерного параметра.

  2. Запишите уравнение движения задачи 12, следующее из уравнения Лагранжа.

  3. Проведите полный анализ потенциальной энергии в задаче 12. Поясните характер движения при различных значениях безразмерного параметра и различных начальных условиях.

  4. Как выглядят фазовые портреты задачи 12 при g < gcr и g > gcr?

  5. Как определяется период нелинейных колебаний?

  6. Определите частоты гармонических колебаний задачи 12 вблизи устойчивых положений равновесия при различных значениях безразмерного параметра.

  7. Запишите функцию Гамильтона и уравнения движения в форме канонических уравнений задачи 12.

  8. Запишите и решите уравнение Гамильтона-Якоби задачи 12, получив полный интеграл и закон движения. Как выглядит закон движения в канонических переменных?

13. Частица на вращающейся окружности в поле тяжести

Здесь конкурирует центробежная сила (задача 5 модуля 1) с силой тяжести (задача 7 модуля 1). Поэтому потенциальная энергия складывается из потенциальной энергии плоского математического маятника Uпмм(φ) = - mgRcosφ и центробежной потенциальной энергии, пропорциональной квадрату расстояния частицы до оси вращения Ucfg(φ) = - (2R2sin2φ)/2. Поэтому функция Лагранжа системы имеет вид

,

где U(φ) = Uпмм(φ) + Ucfg(φ) - полная потенциальная энергия.

Выбор масштабов массы и длины очевиден

Имеется два масштаба времени – масштаб вращения [T] = 1/ и масштаб колебаний в поле тяжести . Для определенности за единицу выберем масштаб колебаний в поле тяжести. Тогда частота вращения окружности будет равна .

Эту безразмерную частоту мы будем продолжать обозначать ω.

Перейдя в указанные масштабы, запишем и посчитаем все основные характеристики нашей частицы.

Потенциальная энергия U(φ) = - cosφ – (ω2sin2φ)/2.

Момент сил – dU/ = - sinφ(1 – ω2cosφ) и уравнение движения .

Условие равновесия dU/ = 0 выполняется в точках φ1 = 0; φ2 = π при любых значениях параметра ω и в точках cosφ3,4 = 1/ω2 при ω > ωcr = 1. Значения потенциальной энергии в этих точках равны соответственно U(φ1,2) = ±1 и U(φ3,4) = - 1/2(1/ω2 + ω2). Из физических соображений следует, что при медленном вращении, в нижней части окружности должен быть минимум, а в верхней - максимум потенциальной энергии.

При быстром вращении, в нижней точке, находящейся на оси окружности, должен существовать максимум, а в точках φ3,4 должны быть симметрично расположенные относительно оси вращения минимумы. Так выглядит потенциальная энергия при двух значениях параметра ω.

Закон движения имеет вид

.

Точки остановки φmin,max, то есть корни уравнения

E = U(φ) = - cosφ – (ω2sin2φ)/2

имеют место лишь при достаточно низких энергиях E < 1. При этих энергиях движение носит характер колебаний с периодом

.

При энергиях, больших единицы (mgl в произвольном масштабе), движение носит характер неравномерного вращения.

Так выглядит зависимость периода нелинейных колебаний от полной энергии при двух значениях параметра ω

Вблизи минимумов потенциальной энергии наблюдаются гармонические колебания, квадраты безразмерных частот которых равны второй производной потенциальной энергии U(φ) = cosφω2cos2φ в соответствующих точках устойчивого равновесия. При медленном вращении, то есть ω < ωcr = 1, имеем

.

При быстром вращении . Найдите выражения для этих частот в произвольном масштабе.

Для более подробного изучения характеристик движения в данной задаче отсылаю Вас к интерактивному приложению,

Самостоятельно

  • определите функцию Гамильтона системы;

  • запишите канонические уравнения движения;

  • запишите уравнение Гамильтона-Якоби;

  • найдите его полный интеграл;

  • найдите закон движения, используя полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.

Как и в предыдущих задачах можно перейти в фазовом пространстве к каноническим переменным. Вот так выглядит зависимость действия J(E) от энергии в этой задаче при двух значениях параметра ω

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.