11. Мінімізація логічних функцій. Метод Квайна. Мінімізація логічних функцій за допомогою графа – стіжка.

Розглянемо метод отримання скороченої ДНФ, який називається методом Квайна. Цей метод базується на перетвореннях досконалої диз’юнктивної нормальної форми за допомогою операції неповного склеювання та поглинання.

Операція (повного) склеювання визначається співвідношенням:

Справедливість даного виразу випливає з такого перетворення:

Операція поглинання визначається співвідношенням:

Кажуть, що член xy поглинається членом x. Справедливість сказаного випливає з перетворень:

Операція неповного склеювання, що застосована в методі Квайна, визначається формулою:

яка може бути отримана з формул (1) і (2):

Теорема Квайна

Якщо в досконалій диз’юнктивній нормальній формі логічної функції провести всі операції неповного склеювання, а потім всі операції поглинання, то вийде скорочена диз’юнктивна нормальна форма цієї функції, тобто диз’юнкція всіх її простих імплікант [1, 2].

З теореми Квайна випливає: якщо функція задана у довільній формі, то її слід перетворити в досконалу ДНФ, застосувати функцію розгортання, і лише після цього проводити операції склеювання і поглинання.

12. Дешифратори та шифратори. Прямокутні (матричні), пірамідальні, дво та багато ступеневі дешифратори, їх швидкодія та енергоспоживання.

Шифратором, або кодером, називають комбінаційний логічний пристрій для перетворення чисел з десяткової СЧ в двійкову. Входам шифратора послідовно надаються значення десяткових чисел, тому подача активного логічного сигналу на один з входів сприймається шифратором як подача відповідного десяткового числа. Цей сигнал на вході шифратора перетворюється в двійковий код. Згідно цього, якщо шифратор має nвиходів, число його входів повинно бути не більше ніж 2n. Шифратор що має 2nвходів та nвиходів називається повним. Якщо число входів шифратора менше ніж 2n, він називається неповним.

Дешифратором, або декодером називають комбінаційний логічний пристрій для перетворення чисел з двійкової системи численняв десяткову. Згідно визначення дешифратор відноситься до класу перетворювачів кодів. Тут також кожному вхідному двійковому числу відповідає сигнал, що формується на відповідному виході пристрою. Таким чином дешифратор виконує операцію, зворотну шифратору. Якщо кількість адресних входів дешифратора nпов’язана з числом виходів mспіввідношенням m=2n, то дешифратор називається повним. В іншому випадку тобто, коли m<2n, дешифратор називається неповним.

Матричні дешифратори вирішують питання дешифрування багатозначних позиційних кодів, які подаються у вигляду матриць.

У пірамідальному дешифраторі число ступенів на одиницю менше розрядності вхідного коду, тобто K=n–1. В усіх ступенях використовуються тільки двовходові логічні елементи. На першому ступені використовуються лінійні дешифратори на два входи і чотири виходи. Число логічних елементів у кожному ступені дорівнює Mi=2i+1, де i=1, 2, ..., k. Це означає, що кожен подальший ступінь має в два рази більше елементів, ніж попередній. Вихід елемента i-го ступеня підключається до входів тільки двох елементів (i+1)-го ступеня.

Основним недоліком пірамідального дешифратора є велике число ступенів, що суттєво збільшує час дешифрації коду.

Пірамідальний дешифратор є в 4 рази ефективніший чим матричний.

Двоступеневі дешифратори. Принцип побудови всі виходи розбиваються на 2 групи таким чином, що якщо n – парне, то число входів в кожній групі = n/2.

Якщо n – непарне, то перша група n+1/2 елементи, а друга n-1/2.

Для кожної із 2 груп будують матричний дешифратор, на входах якого утворюють все можливі добутки змінних даної групи.Ці дешифратори складань 1 ступінь з допомогою елементів І двоступеневого дешифратора.

Якщо порівняти кількість входів 2 ступеневої схеми пірамідальним дешифратором, то вона в 2 економічніша і в 8 раз економічніша матричних.

Час затримки сигналу. з = 3сер.

Багато ступеневі дешифратори. Принцип побудови - входи розбиваються на 2 групи. Кожна група розбивається на 2 групи доти поки в кожній групі залишиться не більше 3 входів. Результат можна представити у вигляді з’єднання ряду 2 ступеневих схем.

Вони є найекономічніші з усіх видів, а час затримки = з = log₂n.